Cayley-Hamilton

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Orest Auf diesen Beitrag antworten »
Cayley-Hamilton
Hi wir haben in der Vorlesung den Satz von Cayley Hamilton bewiesen und der Beweis war sehr lang. Ich habe mir heute überlegt dass man das doch auch viel einfacher beweisen kann.
Wir haben ja det(T*E-A) und wir wollen zeigen, dass da 0 rauskommt, wenn wir A einsetzen.
Also setze ich doch einfach mal A ein, det(A*E-A)=det(0)=0.
Das ist doch viel einfacher als der lange Beweis aus unserer Vorlesung. Hat mein Professor das übersehen? Hammer
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
aber müssen da nicht noch bestimmte eigenschaften für T erfüllt sein? Kenne den Satz zwar nicht, aber vielleicht erzählst du uns ein wenig mehr darüber?? Oder schreibst auch einmal den langen Kettenbeweis hier rein, das hilft mir manchmal schon beim überlegen weiter.
 
 
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu!

Unser Prof hat damals diesen Beweis direkt mit nem Präventivschlag bgonnen: Augenzwinkern
Zitat:


Macht halt keinen Sinn weil du müsstest ja genausogut erst ausrechnen können und dann erst einsetzen damit die Sache konsistent ist, aber ne Matrix in ne Matrix einsetzen macht halt irgendwie keinen Sinn.
Orest Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Hammer Wenn ich die det ausgerechnet habe darf ich doch dann A für x einsetzen
warum also nicht davor? Kann doch nicht sein, dass ich erst für x nicht A einsetzen darf und dann doch. Das x hat sich doch nicht verändert.
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

wie navajo bereits sagte, macht hier ein ,,Einsetzungshomomorphismus''
keinen Sinn.

Du bezeichnest den Beweis deines Prof's als ,,zu lang''. Mich würde interessieren, was du damit meinst, da ich vermute (so wie es bei uns auch der Fall gewesen ist), dass der Beweis direkt, ähnlich wie bei http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton (siehe Link bei Weblinks) mit Hilfe von lineare Operatoren geführt wurde. In meinen Augen ist dieser schön kurz und elegant...kannst ihn dir ja mal angucken und dich bei eventuellen Fragen einfach wieder hier melden...


gruß
swerbe
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso macht ein Einsetzungshomomoprhismus keinen Sinn?

Ich mein wenn man die Matrix in das Polynom ensetzt bekommt man doch genau Null heraus? Scheitert der Beweis nicht eher daran, dass eine Abbildung mehrer Abbildungsmatrizen besitzt (wenn andere Basis gewhält wird) und über diese so nichts ausgesagt werden kann?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat hier zwei verschiedene Nullen:
Setzt man die Matrix in ihr charakteristisches Polynom ein, so erhält man die Nullmatrix und das ist die Aussage von Cayley-Hamilton (siehe auch den/einen(?) korrekten Beweis). Die Berechnung über die Determinante gibt die Null aus dem zugrundeliegenden Körper.

Gruß vom Ben
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich meinte das so, dass man A nicht sinnvoll in

für x einsetzen kann.

gruß
navajo
Highchiller Auf diesen Beitrag antworten »

Ja weil die addition darauf nicht definiert ist. Das eigentliche Problem besteht darin, dass nach Cayley-Hamilton die Null-Matrix errechnet werden müsste, wir aber die Null aus dem Körper erhalten. Was völliger Käse ist.

Ben Sisko hatte als recht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte vermutlich noch anmerken, dass man (nach einem von Serge Lang gefundenen Beweis, welcher z.B. im Buch von Gerd Fischer, S. 252 steht) den vorgeschlagenen falschen "Beweis" von oben zu einem korrekten aufmöbeln kann.

Was man im Prinzip macht, ist sich den kanonischen Homomorphismus anzuschauen. Und macht sich zunutze, dass man Existenz/Eindeutigkeit von Determinanten und Cramersche Regel (Version mit der komplementären Matrix)* nicht bloss über Körpern, sondern auch schon über kommutativen Ringen mit 1 beweisen kann.

Wink

*
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