Induktion

03.11.2008, 18:55

Carlos Eduardo

Induktion

Ich kann eine Induktion nicht, obwohl ich das Prinzip gut verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich für beide Seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ also korrekt.

Induktionsschritt:
Das soll rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+(-1)^{n+3}\frac{1}{n+1}+(-1)^{n+2}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^{n}~\frac{1}{n+k}+(-1)^{n+3}\frac{1}{n+1}+(-1)^{n+2}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht weiter, es muss doch, gelten:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+3}\frac{1}{n+1}+(-1)^{n+2}\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Aber ich schaffe es nicht die rechte Seite so umzuformen, dass die linke bei rauskommen könnte, bzw. was mache ich falsch.

Danke

03.11.2008, 19:02

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Das ist "gefühlt" die häufigste Aufgabe, die in den letzten Wochen hier aufgeschlagen ist, allein heute abend war sie auch schon da:

vollständige induktion von zwei summen

(Ok, da rechts mit Indexverschiebung j=n+k).

Man muss wirklich mal mit Nachdruck drauf hinweisen, doch bitte die Boardsuche zu bemühen (Stichworte "Induktion" und "Summe" o.ä.).

03.11.2008, 19:02

klarsoweit

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RE: Induktion

Zitat:

Original von Carlos Eduardo
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+(-1)^{n+3}\frac{1}{n+1}+(-1)^{n+2}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Da ist was falsch. Du hast für k nicht 2n+1 bzw. 2n+2 eingesetzt.

@Arthur Dent: gönne mir doch den Spaß. Jeder will doch seine Induktion machen. Es ist doch Semesteranfang. smile

03.11.2008, 20:32

Carlos Eduardo

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RE: Induktion
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+(-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2}+(-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=1}^{n}~\frac{1}{n+k}+(-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2}+(-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

So verbessert, aber wie gehe ich da vor?

03.11.2008, 22:14

Carlos Eduardo

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RE: Induktion
So Nochmal von vorne den Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+(-1)^{2n+3}\frac{1}{2n+2}+(-1)^{2n+2}\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}=\sum_{k=0}^{n-1}~\frac{1}{n+1+k}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich die beiden Summanden in die Summe packen und hätte mein Ergebnis schon, aber das Minus stört mich, das passt da nicht ganz, was also bitte mache ich falsch?

Danke

04.11.2008, 10:11

klarsoweit

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RE: Induktion
Du mußt ja auch die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~\frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$ noch so umformen, daß sie bei k=1 beginnt.

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