Betragsungleichungen

03.11.2008, 21:08

matheandi

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Betragsungleichungen

Hi!

Folgende Aufgabe:

Beweise die folgende Ungleichung für a, b E R:

$\begin{eqnarray*} |a+b| + |a-b| >= |a| + |b| \end{eqnarray*}$

Wenn ich auf beiden Seiten Beträge habe, kann ich dann einfach quadrieren?

Dann würde am Schluss

$\begin{eqnarray*} 2a^2+2b^2>=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

dastehen.

Ist das richtig?

Danke! smile

smile

03.11.2008, 21:14

Zizou66

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Das darfst du zwar machen, allerdings ist es schlichtweg falsch, was du rausbekommst, denn $\begin{eqnarray*} (a+b)^2\neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ , hier musst du die binomischen Formeln verwenden. Kennst du die Dreiecksungleichung und darfst du sie voraussetzen? Denn diese besagt gerade, dass

$\begin{eqnarray*} \mid a+b\mid\leq \mid a\mid +\mid b\mid \end{eqnarray*}$

03.11.2008, 21:17

matheandi

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Ich habe auch noch eine weitere Aufgabe mit Beträgen:

Skizziere in einem Koordinatensystem alle Punkte, deren Koordinaten (x, y) der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |2x-|x+y-2||<2 \end{eqnarray*}$

genügen.

wie berechne/mache ich das?

03.11.2008, 21:19

Zizou66

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Bleiben wir doch zuerst mal bei der ersten Ungleichung. Wie sehen deine Ansätze aus? Du musst schon ein bisschen selbst was leisten...

03.11.2008, 21:19

matheandi

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Hallo!

Achso...liegt hier ein Mißverständnis vor?

ähm..., also dieses $\begin{eqnarray*} >= \end{eqnarray*}$ soll heißen "größer gleich"...

03.11.2008, 21:31

Zizou66

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Nein, das ist kein Missverständnis. Ich habe nur auf eine andere Formel verwiesen, die für den Beweis eventuell von Belang sein könnte.

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03.11.2008, 21:46

matheandi

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Also, mein erster Umformungsschritt war ja das Quadrieren, dann hatte ich:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2+(a-b)^2 >= a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

Dann die binomischen Formeln

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2 >= a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

dann noch kürzen und zusammenfassen...aber gut, dann war das so wohl falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2008, 21:48

Zizou66

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Ja so siehts gut aus. Du solltest noch beachten, dass $\begin{eqnarray*} 2ab \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2ab \end{eqnarray*}$ nicht für alle a,b positiv sein muss, daher musst du hier auch mit den Betragstrichen arbeiten. Macht aber kein Unterschied, denn das hebt sich ja gegenseitig auf.

Wieso war es falsch? Wenn du jetzt noch ein bisschen vereinfachst, ist der Beweis komplett.

03.11.2008, 21:51

matheandi

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Oh, aber das hatte ich doch scohn im ersten Beitrag stehen;

also 2ab fällt weg, a^2 und b^2 zusammenfassen...

$\begin{eqnarray*} 2a^2+2b^2>=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

03.11.2008, 22:03

Zizou66

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Das ist richtig, allerdings hat sich mir oben der Eindruck aufgedrängt, als dass du nur einfach so quadriert hättest und nicht auf die bionmischen Regeln geachtet hast, oder? Dem war doch so Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

Ich würde hier allerdings nochmal umformen:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
Denn du kannst ja einmal das $\begin{eqnarray*} ~a^2~ \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} ~b^2~ \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

03.11.2008, 22:15

matheandi

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Nein, dem war nicht so; aber das nächste mal schreibe ich gleich den ganzen Lösungsweg hin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber vielen Dank. smile

smile

und nun:

"Ich habe auch noch eine weitere Aufgabe mit Beträgen:

Skizziere in einem Koordinatensystem alle Punkte, deren Koordinaten (x, y) der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |2x-|x+y-2||<2 \end{eqnarray*}$

genügen.

wie berechne/mache ich das?"

Kann ich da auch erstmal Werte für x oder y einsetzen?

03.11.2008, 22:20

Zizou66

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Ja gut, dann hast du ja jetzt was gelernt smile

smile

Für dieses Problem würde ich dir eine Lösung per Fallunterscheidung empfehlen, denn per Definitionem ist $\begin{eqnarray*} \mid x\mid \end{eqnarray*}$ ja der gleiche Wert für x und -x. Kannst du das mit der Fallunterscheidung?

P.S.: Ich muss nun leider weg, jemand anders wird bestimmt übernehmen.

04.11.2008, 15:34

matheandi

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Vor der Fallunterscheidung muss die Ungleichung aber zuerst aufgelöst/vereinfacht werden, oder?

06.11.2008, 14:42

matheandi

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Kann mir hier noch jemand helfen?

06.11.2008, 14:45

Zizou66

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So da bin ich wieder, habe inzwischen auch auf deine PN geantwortet.

Also welche Gedanken hast du für die Fallunterscheidung? Wie macht man das und vor allem wann?

06.11.2008, 15:04

matheandi

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Also, wenn es mehrere Lösungen für x gibt.
Da man sonst ja Lösungen verliert.

Die Frage ist aber auch, wie genau ich diesen Betrag auflösen soll.

06.11.2008, 15:14

Zizou66

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Aha, hier liegt also das Problem.

Wie würdest du denn den Betrag

$\begin{eqnarray*} \mid x-y\mid \end{eqnarray*}$ ohne Beträge schreiben.

Nachher musst du dieses Vorgehen dann auf $\begin{eqnarray*} \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$ und die gesamte linke Seite der Ungleichung übetragen.

06.11.2008, 15:20

matheandi

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Das ist dann x - y für x größer/gleich 0 und -x für x kleiner 0.

06.11.2008, 15:26

Zizou66

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So geht man normalerweise nicht vor. Ich erkenne auch keinen Sinn darin.

Der Betrag ist: $\begin{eqnarray*} \mid x-y\mid \end{eqnarray*}$
Man unterscheidet die folgenden Fälle: $\begin{eqnarray*} x\geq y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$

Verstehst du das? Mach dir das ruhig mal klar.

06.11.2008, 15:32

matheandi

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$\begin{eqnarray*} \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$

Wäre das dann bei diesem Betrag:

$\begin{eqnarray*} x\geq y - 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x - (y-2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x<y - 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (y-2) - x \end{eqnarray*}$

Oder wird mit der 2 etwas anders gemacht?

06.11.2008, 15:34

Zizou66

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Nee so ist es schon gut. Du darfst die Klammern sogar weglassen.

Jetzt versuche das ganze mal für den gesamten Betrag.

06.11.2008, 15:40

matheandi

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$\begin{eqnarray*} |2x-|x+y-2||<2 \end{eqnarray*}$

Ähm, da sind ja jetzt quasi zwei Beträge in einem.

Muss ich die seperat betrachten?

Also

$\begin{eqnarray*} \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} |2x-x+y-2|<2 \end{eqnarray*}$

?

Ansonsten muss ich ja auf jeden Fall die x zusammenfassen, oder?

06.11.2008, 15:50

Zizou66

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Oh mist! Ich habe oben ganz tragischerweise etwas übersehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$

Wäre das dann bei diesem Betrag:

$\begin{eqnarray*} x\geq y - 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x - (y-2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x<y - 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (y-2) - x \end{eqnarray*}$

Oder wird mit der 2 etwas anders gemacht?

Das ist so nicht richtig, denn zwischen den Betragsstrichen steht ja etwas ganz anderes, nämlich x+y-2. Du musst also die Fälle $\begin{eqnarray*} x+y\geq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y<2 \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Sorry, habe das eben echt nicht gesehen.

06.11.2008, 15:52

matheandi

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Ok!

smile

Ober was mache ich dann mit diesem Doppelbetrag bzw. den x?

06.11.2008, 16:00

Zizou66

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Zuerst mal, wie sieht nun die Fallunterscheidung für den inneren Betrag aus?

Für den Doppelbetrag, wie du es sehr schön nennst, unterscheidet man einfach alle möglichen Fälle seperat. Das ist doch einleuchtend. Daran kannst du dich nun mal versuchen.

06.11.2008, 16:10

matheandi

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$\begin{eqnarray*} |2x-|x+y-2||<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y\geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-|x+y-2|<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-|x+y-2| \geq 2 \end{eqnarray*}$

oder nicht?! :/

06.11.2008, 16:18

Zizou66

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1. Wieso wechselt das Ungleichungszeichen in der letzten Reihe?

Und dann noch: Man löst den Betrag auf, in dem man die Fälle unterscheidet. Also kannst du nicht den äußeren Betrag auflösen, indem du den inneren Unterscheidest. Versuche außerdem dein Vorgehen ein bisschen zu kommentieren.

Also: Für $\begin{eqnarray*} x+y\geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 2x-(x+y-2)\mid<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 2x-(2-(x+y) ) \mid <2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \mid 2x-(2-x-y)\mid<2 \end{eqnarray*}$

So, nun machst du mal weiter.

06.11.2008, 16:23

matheandi

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Ich habe noch eine Frage.

Gibt es für $\begin{eqnarray*} x+y\geq 2 \end{eqnarray*}$ also nur einen möglichen Fall?

Und muss ich für $\begin{eqnarray*} x+y\geq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x+y\leq 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls die versch. Fälle suchen?

06.11.2008, 16:28

Zizou66

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Es gibt tatsächlich nur einen Fall das Betragszeichen aufzulösen, wenn $\begin{eqnarray*} x+y\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist. Das liegt an der Definition des Betrags.

Du musst für den inneren Betrag nur diese beiden Fälle unterscheiden und mehr nicht. Es gibt einfach nicht mehr.

Welche Fälle musst du für den äußeren Betrag unterscheiden?

06.11.2008, 16:48

matheandi

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$\begin{eqnarray*} |2x-|x+y-2||<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-x+y-2<2 \end{eqnarray*}$

Oder darf ich die Beträge hier noch nicht weglassen?

Ich meine, wenn ich den inneren Betrag unterscheide, kann ich die inneren Betragsstriche weglassen; vorher habe ich die äußeren Betragsstriche weggelassen und die innerren gelassen - das war falsch.

Beim äußeren Betrag kommt ja zum inneren Betrag "nur" 2x dazu; muss ich dann extra für 2x unterscheiden oder eben die inneren Betragsstriche weglassen und quasi für den ganzen Term nur mit den äußeren Betraggstrichen untersscheiden?

Entschuldige bitte die vielen Fragen, aber mir scheint wohl jegliche Erinnerung an Betragsrechnung verblasst zu sein und ich bin im Moment gerade etwas verwirrt (und genervt Augenzwinkern

Augenzwinkern

) weil ich nicht weiß, was ich tun muss.

06.11.2008, 17:01

Zizou66

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Also, man löst einen Betrag auf, indem man die möglichen Fälle unterscheidet.

Das nur 2x beim äußeren Betrag dazu kommt stimmt nicht, denn der innere wird davon abgezogen. Jetzt musst du die Unterscheidung treffen, ob 2x größer oder kleiner als der alte Betrag ist.
Du darfst die inneren Betragsstriche weglassen, wenn du beide Fälle, die dafür möglich sind, aufschreibst. Achte bitte auch auf die Klammern, wenn du den inneren Betrag auflöst musst du das insgesamt von 2x abziehen. Das hat Auswirkungen auf die Vorzeichen.

Das ist falsch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2x-x+y-2<2 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig:

$\begin{eqnarray*} \mid 2x-(x+y-2)\mid<2 \end{eqnarray*}$ (für x+y>2)

06.11.2008, 17:07

matheandi

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Oh stimmt, das mit den Vorzeichen habe ich ja überhaupt nicht beachtet.

Dann fehlt für den äußeren Betrag jetzt noch der Fall für x+y<2 ?!

06.11.2008, 17:12

Zizou66

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Nein, diese Fallunterscheidung fehlt dir noch für den inneren Betrag.

Beim äußeren Betrag musst du doch die Fälle $\begin{eqnarray*} 2x\geq \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

06.11.2008, 17:18

matheandi

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Also

$\begin{eqnarray*} 2x\geq \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2x< \mid x+y-2\mid \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} x+y<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 2x-(2-(x+y) ) \mid <2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \mid 2x-(2-x-y)\mid<2 \end{eqnarray*}$

(das hast du vorher gemacht)

06.11.2008, 17:21

Zizou66

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Das ist alles sehr wirr. Für welche Fälle gilt deine letzte Ungleichung? Schreib das bitte besser dran, so dass man es verstehen kann.

Nun musst du vier Fälle unterscheiden, mach das mal und bestimme jeweils die Lösungsmenge der Ungleichungen.

06.11.2008, 23:02

matheandi

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Hallo!

Also, vielen Dank für die Hilfe!

Ich habe jetzt die Fallunterscheidungen gemacht, nur soll ich nun auch noch zeichnen, und ich weiß nicht, wie das geht.

Ergebnisse sind:

$\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y<4-3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y>-3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y<4+x \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand dabei helfen bzw. erklären wie das geht?

Welche Koordinaten bzw. Geraden usw.

07.11.2008, 16:26

Zizou66

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Diese Lösungen erhalte ich auch.

Wie sollts du das denn zeichnen, bzw. wie habt ihr das im Unterrichtg gemacht?

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