Chinesischer Restsatz

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Chinesischer Restsatz
Hallo,

seien m und n aus IN
seien x und y aus IZ

ferner gelte mx+ny=1

gegeben:





mit z aus IZ

Jetzt soll man folgendes zeigen:

(*)

Das scheint ja ein Spezialfall des Chinesischen Restsatz zu sein, jedoch komme ich irgendwie nicht drauf wie ich die Kongruenz (*) zeigen kann...

Kann mir jemand helfen ?

Gruß Björn
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Also komm....
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, hätte ich vielleicht noch dabei schreiben sollen dass mir schon klar ist dass durch diese Gleichung m und n teilerfremd sind...wie mich das weiterbringt ist halt das Problem.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal sagt der Chinesische Restsatz, dass es im Fall teilerfremder bei gegebenen





genau eine Lösung modulo dieser simultanen Kongruenz gibt. Im folgenden musst du lediglich noch nachweisen, dass diese Lösungsrestklasse ist, und zwar durch eine Probe, bei der du natürlich nutzen darfst (und musst).
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...also so ?

bxm+ayn=bxm+a(1-xm)=a+(b-a)xm ist kongruent a mod m

bxm+ayn=b(1-ny)+ayn=b+(a-b)yn ist kongruent b mod n

Wenn das denn so stimmt, warum darf ich dann einfach so mit den Modulos rumspielen, also die Probe für einen Term machen, der vorher modulo m*n betrachtet wurde jetzt einfach separat nach Belieben einmal für einen Nachweis modulo m und modulo n verwenden ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Wenn das denn so stimmt, warum darf ich dann einfach so mit den Modulos rumspielen, also die Probe für einen Term machen, der vorher modulo m*n betrachtet wurde jetzt einfach separat nach Belieben einmal für einen Nachweis modulo m und modulo n verwenden ?

Weil und Teiler von sind!

Es ist eine banale Folgerung aus der Modulrechnung, dass für die Implikation



gilt! Wenn du es nicht glaubst, dann weise es nach.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

s=r*t => x=k*(r*t)+y <=> x=(k*t)*r+y Augenzwinkern

Ok, dank dir smile
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