Abstandsberechnung

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Kohl Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsberechnung
Gegeben ist die Ebene E1: -2x+y-2z=-15
und die grade g:=+t

Aufgaben:1. Bestimmen Sie den Abstand der graden g von der Ebene E1.

2. Geben Sie eine gleichung der Ebene E2 an, die näher beim ursprung liegt als E1 und von E1 den abstand 3 hat.

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich bei dem jeweiligen aufgaben vorgehen muss.

Viele Grüsse

Danke!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsberechnung
zu 1) prüfe, ob ein schnittpunkt vorhanden ist, oder g in E liegt, wenn nein -> HNF.
zu 2) auf E senkrechte gerade durch O , und so weiter...
oder eben auch HNF
werner
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2) gibt es eine recht hilfreiche Auffälligkeit:

Wenn man eine Ebene hat, und normiert, also durch den Betrag des Normalvektors dividiert, so gibt der Betrag des normierten Koeffiezienten den Abstand der Ebene zum Ursprung an.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte werner mit HNF (Hessesche Normalform).

Gruß vom Ben
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Das Thema haben werner und ich schon per PN geklärt. Augenzwinkern
Danke jedoch für deine Aufmerksamkeit.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Danke jedoch für deine Aufmerksamkeit.


Ja, so bin ich Big Laugh Augenzwinkern
 
 
mys Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsberechnung
Zitat:
Original von wernerrin
zu 1) prüfe, ob ein schnittpunkt vorhanden ist, oder g in E liegt, wenn nein -> HNF.


kann mir vielleicht jemand erklären, wie man das macht?? wäre super nett Augenzwinkern
vielleicht reicht es sogar schon, wenn es kurz theoretisch erklärt wird...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Wenn sich g und E schneiden würden gäbe es ja gar keinen einheitlichen Abstand, sondern jeder Punkt von g hätte einen anderen Abstand zur Ebene E. Im Spezialfall dass g in E liegt, gilt natürlich dann, dass der Abstand 0 LE beträgt.

Wenn g und E echt parallel sind, was immer dann der Fall ist, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene senkrecht zueinander stehen, also deren Skalarprodukt null ist, bietet es sich an auf die HNF zurückzugreifen, da es besonders einfach ist damit den Abstand zu berechnen.

Wähle dazu einfach einen Punkt P der Geraden aus und bestimme durch Einsetzen in die folgende Formel den Abstand d des Punktes P von der Ebene E :

Sei P=(p1/p2/p3) ein Punkt der Geraden g und die Ebene E allgemein in Koordinatenform gegeben mit

Dann gilt für den Abstand d von P zu E (und somit auch für g von E) :



Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

schonmal danke für deine Hilfe! Augenzwinkern

aber wie rechne ich den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene aus, oder wie kriege ich raus ob g in E liegt??

Das ist im Moment eher mein Problem..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal würde ich immer prüfen, ob der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene senkrecht zueinander stehen (siehe oben).

Wenn das der Fall ist, sind E und g entweder echt parallel zueinander oder g liegt in E.

Die Gerade g würde in E liegen wenn irgendein Punkt der Geraden g, z.B. hier
(2 | -16 | 2), in der Ebene E liegen würde.
Um dies zu überprüfen setze die Koordinaten des Punktes in die Ebene ein.
Falls das Ergebnis der Zahl auf rechten Seite der Ebenengleichung entspricht, wäre der Punkt also auch in E enthalten und somit wäre auch g in E enthalten.

Wenn das Skalarprodukt des Richtungsvektors von g und des Normalenvektors von E ungleich null ist, dann schneiden sich g und E.

Den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) könnte man z.B. dadurch berechnen indem man die Gerade als Vektor auffasst und jede der Koordinaten in die Ebene einsetzt.

Z.B. wäre hier x=2+t, y=-16+4t und z=2+t

Wenn du dies nun in die Koordinatenform der Ebene E einsetzt kannst du nach t auflösen und dieses t dann in g einsetzen, was dir somit den Schnittpunkt liefert.

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

vielen vielen Dank, ich glaub ich habs echt kapiert =)

Ich hab das gerade mal ausprobiert, hänge die Derive-Datei mal an, hoffe du kannst die öffnen, wenn nicht kann ichs ja nochmal direkt hier rein schreiben.. wüsste nämlich schon gerne ob es so richtig ist?!



Achja, und hat vielleicht jemand nochmal eine Aufgabe (also eine Ebene und eine Gerade), bei der man tatsächlich zum Abstand ausrechnen kommt??

Weil bei der, die ich gerade gemacht habe war eben beim Schnittpunkt Schluß und ich möchte jetzt auch nicht 20 Aufgaben ausrechnen, bis ich endlich mal auf eine stoße, bei der man bis zum Abstand kommt..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab leider noch nie mit DERIVE gearbeitet verwirrt

Wär also schön wenn du kurz die Gerade, Ebene und den Schnittpunkt posten würdest...Dann kann ich mal drüberschauen smile

Als Beispiel eignet sich doch z.B. die hier im ersten Beitrag gepostete Aufgabe.

Gegeben ist die Ebene E1: -2x+y-2z=-15
und die grade g:=+t

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

okay...

Gerade:

Ebene:


Der Schnittpunkt liegt bei (-3,8,1)...

richtig?



ich rechne dann mal die andere Aufgabe, hätte ich auch selbst drauf kommen können Hammer
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Schnittpunkt ist richtig Freude
mys Auf diesen Beitrag antworten »

schön =)


und für die Aufgabe hier hab ich - 2.474873734 raus.. richtig?!?! kann es überhaupt - sein?? verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, da kommt schon ein glatter Wert raus.

Hast dich vielleicht irgendwo verrechnet verwirrt

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab



gerechnet..


?!?!

edit: ich merke gerade selbst, dass das eigentlich gar nicht geht^^ jedenfalls unter dem bruchstrich nicht.. mhh.. was muss ich dann da einsetzen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Ebenengleichung steht eine 1 vor dem y, keine 0 smile

Damit sollte es klapppen Freude
mys Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh...

aber dann bekomme ich 3.401680257 raus.. das is ja auch kein glatter wert^^
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler steht doch dann -9 und im Nenner (wenn du 0² durch 1² ersetzt) kommt auch ne schöne glatte Zahl heraus.

Davon noch den Betrag nehmen, um einen positiven Abstand zu erhalten, und fertig bist du.

Vielleicht nochmal deutlicher:

Die Ebenengleichung lautet E: -2x+1*y-2z=15

Klappts jetzt ?
mys Auf diesen Beitrag antworten »

habs grad nochmal mim Taschenrechner gerechnet (anstatt mit Derive), dann kommt genau 3 raus smile das ist dann aber auch endlich richtig, oder??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das stimmt Freude
mys Auf diesen Beitrag antworten »

yeah smile


vielen vielen Dank, habs, glaube ich, dank dir super kapiert!! *freu*
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte.

Dann mal viel Erfolg weiterhin mit den noch kommenden Aufgaben Wink

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

hallo nochmal =)

ich wollte mal fragen, ob es auch Aufgaben gibt, wo man diese Hessesche Normalform nicht anwenden kann, sondern einen Punkt der Geraden suchen muss und dann den Abstand dieses Punktes zur Ebene berechnen muss?!

Denn irgendwie hatten wir diese HNF noch gar nicht im Unterricht und mein Lehrer sagte die kommt auch in der Klausur nächste Woche gar nicht dran, aber es kommt Abstand Gerade - Ebene dran. Und jetzt müsste ich halt mal wissen ob ich das für die Klausur nochmal anders lernen muss, also mit Punkt auf Geraden suchen und Anstand Punkt - Ebene berechnen?!

Und wenn es Aufgaben gibt, wo es nur auf diese Punkt-suchen-Weise geht, würde mich noch interessieren, wie ich den passenden Punkt auf der Geraden rausbekomme Augenzwinkern


Hilfe wäre wie immer super Augenzwinkern

Cu, mys
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Also du kannst ja die Aufgabe nochmal mit dem anderen Verfahren machen.
Prinzipiell musst du eben erstmal untersuchen, ob die Gerade und die Ebene auch wirklich parallel zueinander sind.

Wenn dies der Fall ist, dann wählst du dir einfach irgendeinen Punkt der Geraden aus, indem du für den Parameter in der Geradengleichung einfach eine Zahl einsetzt...z.B. t=0

Dadurch erhälst du den Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden, dessen Koordinaten den Koordinaten des Punktes entsprechen.

Jetzt musst du also den Abstand des Punktes von der Ebene bestimmen.

Die übliche Vorgehensweise ist folgende:

1. Eine Lotgerade konstruieren, die einen Punkt P der Geraden enthält und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene besitzt

2. Schnittpunkt S der Lotgeraden und Ebene bestimmen durch Einsetzen des Geradenvektors in die Koordinatenform der Ebene

3. Die Länge des Vektors PS entspricht dem gesuchten Abstand von P zur Ebene und somit dem Abstand der Geraden zur Ebene

Eine weitere Aufgabe zum Üben:

Bestimme den Abstand von P (2 | 0 | 1) von E: x+8y-4z=25

Falls du noch Fragen hast melde dich einfach.

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

Und da ist auch schon das erste Problem.. wie kriege ich denn raus ob die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind??

(Und kann/darf/muss man nur Abstand berechnen, wenn sie parallel sind?)


Und woher weiß ich wann ich das so machen muss und wann ich einfach die HNF benutzen kann?


edit: außer das mit gucken ob die parallel sind hat aber alles super geklappt, vielen Dank Augenzwinkern (Fragen oben sind aber immer noch unklar)

edit2: oh man, bin ich blöd^^ wie ich rauskriege ob die parallel sind wurde mir hier ja schon richtig gut erklärt... also wieder Skalarprodukt von Normalenvektor (der Ebene) und Richtungsvektor (der Geraden) nehme ich an?!
Sorry, kann mir solche Dinge einfach nicht behalten^^

Allerdings weiß ich auf die anderen 2 Fragen dann trotzdem noch keine Antwort..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Und kann/darf/muss man nur Abstand berechnen, wenn sie parallel sind?)


Sagen wir mal so, wenn sich eine Gerade und eine Ebene schneiden sollten, dann hat ja jeder Punkt der Geraden einen anderen Abstand zu der Ebene.
Und wenn dies tatsächlich der Fall sein sollte, wird die Aufgabenstelllung wohl eher lauten :
Bestimme alle Punkte der Geraden die von der Ebene einen Abstand von z.B. 4 LE haben

Wenn eine Gerade echt parallel zu einer Ebene ist, hat jeder Punkt dieser Geraden denselben Abstand zu der Ebene.
Und in diesem Fall macht es auch Sinn allgemein den Abstand von der Geraden zur Ebene zu berechnen.

Zitat:
Und woher weiß ich wann ich das so machen muss und wann ich einfach die HNF benutzen kann?


Wenn der Lehrer nicht erlaubt das mit HNF zu machen, dann musst du wohl oder übel den etwas längeren Weg nehmen. Frag ihn doch einfach mal Augenzwinkern

Zitat:
also wieder Skalarprodukt von Normalenvektor (der Ebene) und Richtungsvektor (der Geraden) nehme ich an?!


Richtig - also wenn dieses Skalarprodukt null ergibt, dann ist die Ebene parallel zu der Geraden.

Gruß Björn
mys Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Zitat:
Und woher weiß ich wann ich das so machen muss und wann ich einfach die HNF benutzen kann?


Wenn der Lehrer nicht erlaubt das mit HNF zu machen, dann musst du wohl oder übel den etwas längeren Weg nehmen. Frag ihn doch einfach mal Augenzwinkern


Hab ich schon, ich darf das schon, allerdings haben wir das eben noch nicht im Unterricht gemacht und es kann sein, dass er dann bei mir die Punktevergabe ändern muss oder so?!?!

Also kann ich theoretisch bei jeder Aufgabe wo man den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen soll, sowohl die HNF als auch die andere Möglichkeit anwenden?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also kann ich theoretisch bei jeder Aufgabe wo man den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen soll, sowohl die HNF als auch die andere Möglichkeit anwenden?


Auf jeden Fall smile
mys Auf diesen Beitrag antworten »

super.. =)

vielen Dank für die super Hilfe wieder ein mal Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile
Freut mich, wenn ich dir weiterhelfen konnte : Wink

Gruß Björn
cleanerjp Auf diesen Beitrag antworten »

so, dann grab ich den thread mal wieder aus, weil ich nen ähnliches prob habAugenzwinkern
aufgabenstellung @ pic

problemlösung is zwar einfach(glaub ich..Augenzwinkern , aber bei mir fehlts an den basics

ich würde das so angehn:

Strecken , sowie einen der durchstoßpunkte errechnen und dann mittels strahlensatz den ach so mächtigen schatten ausrechnen=)

hab auch schon mit und ne geradengleichung aufgestellt:



so, jetzt müsste ich nur noch die Ebene(ngleichung) mit der geradengleichung gleichsetzten, oder?
aber dazu müsste die auch in die parameterform - hier is mein latein leider am endeunglücklich
oder kann ich die gerade auch in die allgemeine form umwandeln?

mfg jo

edit :latex vergessen*g*
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Strahlensätzen wär ich hier vorsichtig, denn die Strecke P1P2 und deren Projektion sind nur in einem Spezialfall parallel.

Eine übliche Vorgehensweise wär hier:

1) Gerade durch P1 und Q bzw durch P2 und Q bilden

2) Jede Gerade mit der Ebene schneiden und die beiden Durchstoßpunkte A und B bestimmen

3) Die Länge des Vektors mit Anfangspunkt A und Endpunkt B entspricht der Länge des Schattens

Hilft das weiter ?

Gruß Björn
cleanerjp Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ja so auch..
kann das ja mit dem strahlensatz kontrolierenAugenzwinkern
mein problem liegt aber jetzt in der ebene
ich kann doch nicht die allgemeine form (wie gegeben) mit der parameterform der geraden gleichsetzen, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht, ich hatte oben in meinem Beitag noch etwas editiert und dir ene Begründung dafür gegeben warum das mit dem Strahlensatz eben NICHT funktionieren wird.

Desweiteren Kannst du die Gerade als Vektor ausdrücken und in die Ebene einsetzen oder eben die Ebene in Parameterform umwandeln und dann mit der Gerade gleichsetzen.

Das erste Verfahren geht aber schneller.

Also die Geraden durch den Vektor x mit den Komponenten x,y und z ausgedrückt liefert dir 3 Gleichungen.

x=1-2t
y=...
z=...

Und das setzt du dann in die Koordinatenform der Ebene ein.

Gruß Björn
cleanerjp Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja, dankeAugenzwinkern
strahlensatz fällt somit raus -
gut, dann mach ich mich mal ans rechnen=)
frankie1982 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

wie habt ihr mit derive den schnittpunkt zwischen der geraden & der ebene errechnet ?
für die schnittpunktberechnung muss ich doch die g in e einsetzen !
dieser wert wird dann wiederum in die geradengleichung eingegeben für lamda.

mir fehlt der schritt des einsetzens von g in e mit derive !!??
kann mir jemand helfen ?


Gerade:

Ebene:
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