Grenzwert Bestimmung

04.11.2008, 09:10

axelt

Grenzwert Bestimmung

Es geht um folgende Folge:

$\begin{eqnarray*} a_n=(x^n+y^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$

und ihre Konvergenz.

Ich habe bereits per Monotoniekriterium gezeigt, das der Grenzwert existiert. Ich weiss auch das es y ist, weil das irgendwie offensichtlich ist. Aber:

Wie zeige ich das jetzt? Wir haben immer das Kalkül der Grenze genutzt und eine Formel für den Grenzwert aufgestellt.

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Und wo wir schon beim Thema sind: Wie zeige ich eigentlich nicht-Konvergenz bzw. Divergenz?

Bsp. Funktion :

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+\frac{n}{t} } \ - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

04.11.2008, 09:34

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RE: Grenzwert Bestimmung

Zitat:

Original von axelt
Ich weiss auch das es y ist, weil das irgendwie offensichtlich ist.

Aber nur im Fall $\begin{eqnarray*} |x| \leq |y| \end{eqnarray*}$ , was du wohl "vergessen" hast zu erwähnen...

04.11.2008, 09:37

axelt

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Das stimmt, hatte ich wirklich vergessen...

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq y \end{eqnarray*}$

04.11.2008, 09:44

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Der Beweis geschieht einfach per Sandwich: Wegen $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq y \end{eqnarray*}$ kannst du abschätzen

$\begin{eqnarray*} y^n \leq x^n + y^n \leq 2y^n \end{eqnarray*}$ ,

daraus dann die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} y \leq a_n \leq \sqrt[n]{2}\cdot y \end{eqnarray*}$

und Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ durchführen.

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Zum anderen Problem: Einfach Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ abspalten

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+\frac{n}{t}} - \sqrt{n} = \sqrt{n} \left[ \sqrt{1+\frac{1}{t}} - 1 \right] \end{eqnarray*}$ ,

das in eckigen Klammern ist bzgl. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine bloße Konstante.

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