faktorzerlegung polynom 5ten grades

04.11.2008, 10:37

kemal

faktorzerlegung polynom 5ten grades

hi ich komme nicht mehr weiter bei der faktorzerlegung eines polynoms 5ten grades.

ich habe gelesen man brauch hierzu eine wurzelfaktorisierung. aber dazu finde ich nichts :/

hier die aufgabe:

sei f(x) = $\begin{eqnarray*} x^5-6x^4+13x^3-14x^2+12x-8 \end{eqnarray*}$

zeigeen sie: das polynom f(x) hat in $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ eine nullstelle.

zerlegen sie f(x) soweit wie möglich in faktoren.

jetzt habe ich einfach für alle x 2 eingesetzt und es kam 0 raus...

aber weiter komme ich nicht mit der faktorisierung

04.11.2008, 10:44

klarsoweit

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RE: faktorzerlegung polynom 5ten grades
Mittels der Nullstelle macht man eine Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (x^5-6x^4+13x^3-14x^2+12x-8) : (x -2) \end{eqnarray*}$

Und da das Schulstoff ist, kommt das auch dahin. smile

04.11.2008, 11:03

kemal

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ok habe das hier raus:

$\begin{eqnarray*} 4x^4+20x^2+18 \end{eqnarray*}$

das habe ich dann durch 4 geteilt und bekomme raus:

$\begin{eqnarray*} x^4+5x^2+9/2 \end{eqnarray*}$

aber ich habe echt keine ahnung wie man sowas faktorisiert

die neuen nullstellen mit pq formel berechnen darf ich glaube ich nicht ;/

und wenn ich das auch mache und die nullstellen habe weiss ich immernoch nicht wie man faktorisiert

04.11.2008, 11:08

Q-fLaDeN

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Du darfst nicht durch 4 teilen, denn sonst wird am Ende die Polynomfaktorisierung falsch.
Substituiere $\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$

Das Restpolynom ( $\begin{eqnarray*} 4x^4+20x^2+18 \end{eqnarray*}$ ) lässt sich dann in der Form $\begin{eqnarray*} P(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$ darstellen wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ Nullstellen sind.

Grüße Wink

\Edit:
Wie bist du darauf gekommen?

04.11.2008, 11:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von kemal
$\begin{eqnarray*} 4x^4+20x^2+18 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (4x^4+20x^2+18) \cdot (x-2) \end{eqnarray*}$ rechne, kommt nicht das ursprüngliche Polynom raus.

@Q-fLaDeN: man darf den Leuten einfach nichts glauben. smile

04.11.2008, 11:15

Q-fLaDeN

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Siehe mein Edit Big Laugh

Hätte ja auch gar nicht sein können, denn da MUSS danach ein Polynom 4. Grades dort stehen.

04.11.2008, 11:18

klarsoweit

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Er hat ja auch ein Polynom 4. Grades rausbekommen, aber eben ein falsches.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Das Restpolynom ( $\begin{eqnarray*} 4x^4+20x^2+18 \end{eqnarray*}$ ) lässt sich dann in der Form $\begin{eqnarray*} P(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$ darstellen wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ Nullstellen sind.

Unsauberer Ansatz, da der Grad der Polynome unterschiedlich ist.

04.11.2008, 11:24

Q-fLaDeN

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Sorry ich war da grad total durcheinander, ignoriert mich einfach Big Laugh

04.11.2008, 11:42

kemal

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puuuh jetztt bin ich total durcheinander verwirrt

auf die $\begin{eqnarray*} 4x^4+20x^2+18 \end{eqnarray*}$ bin ich durch die polynom division drauf gekommen

ich dachte die soll ich machen?? ist das richtig???

oder habe ich mich einfach verrechnet???

04.11.2008, 11:54

klarsoweit

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Ja, du solltest Polynomdivision machen, aber leider ist dein Ergebnis falsch. (Darauf wurde hier jetzt schon zum 3. Mal hingewiesen.)

Bei der Kontroll-Rechnung $\begin{eqnarray*} (4x^4+20x^2+18) \cdot (x-2) \end{eqnarray*}$ müßte wieder $\begin{eqnarray*} x^5-6x^4+13x^3-14x^2+12x-8 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Tut es das?

04.11.2008, 11:59

kemal

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nee kommt was anderes raus... jetzt weiss ich acuh warum !!

ich habe das ergebniss zusammengerechnet. ich hatte ja das hier raus bei der polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} x^5-6x^4+13x^3+12x-8 : (x-2) = x^4+3x^4+13x+7x+12+4 \end{eqnarray*}$

und dann habe ich einfach ausgerechnet und kam zu meinem ergebniss was falsch ist.

also muss ich jetzz die faktorzerlegung mit $\begin{eqnarray*} x^4+3x^4+13x+7x+12+4 \end{eqnarray*}$ machen?? ich versuche das mal

04.11.2008, 12:03

Nubler

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zusammenfassen und dann schaun, ob du noch ne nullstelle raten kannst

(hint: primfaktorzerlegung des absolutgliedes)

04.11.2008, 12:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von kemal
$\begin{eqnarray*} x^5-6x^4+13x^3+12x-8 : (x-2) = x^4+3x^4+13x+7x+12+4 \end{eqnarray*}$

Auch dieses Ergebnis ist falsch.

@Nubler: bitte nicht auch noch hier reinmengen. Tut mir leid, wenn ich das mal so offen sage.

04.11.2008, 12:20

kemal

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was ist den daran falsch ??? ich erkenne da nicht den fehler

//EDIT :

AAAAAARGH

habs^^ ergebniss ist: $\begin{eqnarray*} x^4+4x^3+5x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$

jetzt noch eon versuch das zu faktorisieren

04.11.2008, 12:43

klarsoweit

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Kleiner Test:
$\begin{eqnarray*} (x^4+4x^3+5x^2+4x+4) \cdot (x-2) = x^5-2x^4+4x^4-8x^3+5x^3-10x^2+4x^2-8x+4x-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = x^5+2x^4-3x^3-6x^2-4x-8 \end{eqnarray*}$

Leider kommt da nicht dein Ausgangspolynom raus. unglücklich

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