Ungleichung AGM

04.11.2008, 14:22	abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung AGM Hallo, ich hab ein Problem mit dem Beweis einer Ungleichung des AGM: $\begin{eqnarray} \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} a=b=c\Rightarrow a=a \end{eqnarray}$ hab ich es schon bewiesen, doch wie mache ich das, wenn $\begin{eqnarray} a\neq b\neq c \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ war es einfacher, weil man die Ungleichung via Binomischer Formel umformen konnte zu $\begin{eqnarray} (\sqrt{a}- \sqrt{b} )^{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ , doch wie kann ich das hier zeigen?
04.11.2008, 14:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung AGM Sollst du die Ungleichung wirklich nur für 3 Zahlen beweisen, oder evtl. doch gleich für n Zahlen?
04.11.2008, 14:58	abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal nur für 3 Zahlen
04.11.2008, 15:18	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenziere die Ungleichung mit 3 (alles "hoch 3") und multipliziere die rechte Seite aus. Edit: Obwohl das vielleicht doch keine so gute Idee ist ...
04.11.2008, 16:13	abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich auch schon versucht und irgendwie kommt man damit nicht weiter
04.11.2008, 17:11	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich ist der Beweisaufwand für 3 Zahlen derselbe wie für n. Daher würde ich es an deiner Stelle auch gleich für n machen.
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04.11.2008, 17:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wikipedia enthält mehrere Beweise für den allgemeinen Fall mit n Zahlen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung...trischen_Mittel Die sind aber alle nicht sehr elementar. Ein elementarer Beweis für 3 Zahlen könnte so aussehen: Es ist o.B.d.A. $\begin{eqnarray} a\leq b\leq c \end{eqnarray}$ Dann kann mit $\begin{eqnarray} x,y\geq 0 \end{eqnarray}$ setzen: Fall 1 $\begin{eqnarray} a=b-x, \quad c=b+x+y \end{eqnarray}$ oder Fall 2 $\begin{eqnarray} a=b-x-y, \quad c=b+x, \quad y\leq b \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt $\begin{eqnarray} (\frac{a+b+c}{3})^3-abc \end{eqnarray}$ ausrechnet, bleiben im Fall 1 nur nicht negative Terme und im Fall 2 ist das Ergebnis wegen $\begin{eqnarray} y \leq b \end{eqnarray}$ auch nicht negativ.
04.11.2008, 19:20	abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Ausdrücke für a,b,c?
04.11.2008, 19:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich betrachte die Differenzen b - a und c - b. Ist $\begin{eqnarray} c-b \geq b-a \end{eqnarray}$ kann man setzen: $\begin{eqnarray} b-a=x, c-b=x+y \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} b-a\geq c-b \end{eqnarray}$ setzt man: $\begin{eqnarray} c-b=x, b-a=x+y \end{eqnarray}$
04.11.2008, 20:27	abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, alles klar

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