Leibnizsche Formel nachweisen (vollst. Induktion)

04.11.2008, 15:01

timhaller

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Leibnizsche Formel nachweisen (vollst. Induktion)

Die Leibnizsche Formel sollen wir analog zur binomischen Formel nachweisen.

Die Menge A sei mit zwei inneren Verknüpfungen ausgestattet, einer Addition "+" und einer
Multiplikation "*".
Um unübersichtliche Klammerungen moglichst zu vermeiden, sei die Multiplikation
in üblicher Weise stärker bindend als die Addition.

Ferner sei D : A --> A eine Selbstabbildung von A mit den beiden folgenden Eigenschaften für alle a, b Element A:

D(a + b) = Da + Db (Summenregel)

D(a * b) = Da * b + a * Db (Produktregel)

Weisen Sie per vollständiger Induktion die folgende Identitat für a, b Element A nach:

(hatte hier mit Latex Probleme...nach dem Summenzeichen kommt "n über k" und es ist "D hoch n-k")

$\begin{eqnarray*} D^n (a \cdot b) = \sum_{k=0}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n-k)} b \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D^n \end{eqnarray*}$ die n-fache Hintereinanderausführung von D bezeichne.
In welcher Weise ließe sich die Produktregel auerdem verallgemeinern?

Muss man hier einfach ganz normal mit Induktionsanfang (n=0), Voraussetzung (n --> n+1) arbeiten?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

04.11.2008, 17:09

system-agent

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RE: Leibnizsche Formel nachweisen (vollst. Induktion)

Zitat:

Original von timhaller

Muss man hier einfach ganz normal mit Induktionsanfang (n=0), Voraussetzung (n --> n+1) arbeiten?

Ja.

05.11.2008, 13:28

timhaller

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Ok, dann wäre der Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ :

linke Seite:

$\begin{eqnarray*} D^1(a \cdot b) \end{eqnarray*}$

rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \binom 1 0 D^0 a \cdot D^1 b \end{eqnarray*}$

aber da fehlt noch etwas, oder?

05.11.2008, 13:42

klarsoweit

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Ja. Du mußt eben zeigen, daß die linke Seite gleich der rechten Seite ist.

05.11.2008, 14:14

timhaller

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Beim Beweis der binomischen Formel wurde im Skript die rechte Seite noch erweitert...ich weiß aber nicht warum.

Bei anderen Beweisen war das bis jetzt noch nicht der Fall...oder hat das etwas mit dem Binomialkoeffizienten zu tun?

05.11.2008, 14:28

klarsoweit

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Nun mal langsam. Noch sind wir beim Induktionsanfang und da braucht man keine binomischen Formeln oder sonst was. Da muß man lediglich die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \binom 1 k D^k a \cdot D^{1-k} b \end{eqnarray*}$ (so muß es richtig heißen, nicht das was du geschrieben hast) in die einzelnen Summanden aufdröseln und natürlich wissen, was die Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom 1 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom 1 1 \end{eqnarray*}$ bedeuten.

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05.11.2008, 14:39

timhaller

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Die binomische Formel hatte ich nur erwähnt, weil wir den Beweis der binmoischen Formel im Skript haben und in der Angabe stand, dass wir die Leibnizsche Formel analog zur binomischen Formel beweisen sollten.

$\begin{eqnarray*} \binom 1 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom 1 1 \end{eqnarray*}$ ergeben beide 1, oder?

Kann es sein, dass man beim Induktionsanfang bei der rechten Seite noch für k=1 addieren muss?

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \binom 1 0 D^0 a \cdot D^1 b + \binom 1 1 D^1a \cdot D^0 b \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 14:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von timhaller
$\begin{eqnarray*} \binom 1 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom 1 1 \end{eqnarray*}$ ergeben beide 1, oder?

Ja.

Ich frage mich, warum du immer nur so halbrichtige Brocken schreibst. Das ist die rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \binom 1 k D^k a \cdot D^{1-k} b = \binom 1 0 D^0 a \cdot D^1 b + \binom 1 1 D^1a \cdot D^0 b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D^0 \end{eqnarray*}$ ist dabei als Identitätsabbildung zu verstehen, also $\begin{eqnarray*} D^0 a = a \end{eqnarray*}$ .

05.11.2008, 14:54

timhaller

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Entschuldigung. :/

Dann ergibt die rechte Seite ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} Dab+Dab \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 14:56

klarsoweit

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Da hast du dich beim ersten Summanden vertan.

05.11.2008, 15:21

timhaller

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oje, jetzt bin ich ganz verwirrt.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1a \cdot Db+1 \cdot Da \cdot b \end{eqnarray*}$

Ist das denn so nicht richtig aufgelöst?

05.11.2008, 15:24

klarsoweit

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So ist es jetzt richtig. Und laut Produktregel ist

$\begin{eqnarray*} a \cdot Db + Da \cdot b = D(a \cdot b) \end{eqnarray*}$

Hurra! Und damit ist der Induktionsanfang erledigt.

Nun kommt der viel größere Spaß, nämlich der Induktionsschritt. smile

smile

05.11.2008, 15:44

timhaller

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Also

n ---> n+1

Analog wäre das:

linke Seite:

$\begin{eqnarray*} D^{n+1} \cdot (a \cdot b) \end{eqnarray*}$

rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1} k D^k a \cdot D^{n+1-k} b = \binom {n+1} 0 D^0 a \cdot D^{n+1} b + \binom {n+1} 1 D^1 a \cdot D^n b \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 15:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von timhaller
$\begin{eqnarray*} = \binom {n+1} 0 D^0 a \cdot D^{n+1} b + \binom {n+1} 1 D^1 a \cdot D^n b \end{eqnarray*}$

unglücklich

Da hast du aber nur 2 Summanden der Summe hingeschrieben und satte n weitere Summanden weggelassen.

Damit du mal einen Anfang bekommst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1} k D^k a \cdot D^{n+1-k} b = \binom {n+1} 0 D^0 a \cdot D^{n+1} b + \binom{n+1}{n+1} D^{n+1} a \cdot D^0 b + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1} k D^k a \cdot D^{n+1-k} b \end{eqnarray*}$

Auf den Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ kannst du die Regel $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom n k \end{eqnarray*}$ anwenden.

05.11.2008, 16:44

timhaller

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$\begin{eqnarray*} = a \cdot D^{n+1}b+D^{n+1}a \cdot b + \sum_{k=1}^{n} \binom n{k-1} + \binom n k D^k a \cdot D^{n+1-k} b \end{eqnarray*}$

muss ich beim nächsten Umforumngsschritt k einsetzen?

Also "1"; dann würde das:

$\begin{eqnarray*} = a \cdot D^{n+1}b+D^{n+1}a \cdot b + \sum_{k=1}^{n} \binom n 0 + \binom n 1 D^1a \cdot D^n b \end{eqnarray*}$

ergeben.

05.11.2008, 17:52

klarsoweit

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RE: Leibnizsche Formel nachweisen (vollst. Induktion)
Leider bin ich in den 2 letzten Beiträgen etwas unstrukturiert vorgegangen. Deswegen nehme ich nochmal einen Anlauf:

Im Induktionsschritt dürfen wir vorraussetzen, daß gilt:

$\begin{eqnarray*} D^n (a \cdot b) = \sum_{k=0}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n-k)} b \end{eqnarray*}$

Dieses müssen wir zeigen: $\begin{eqnarray*} D^{n+1} (a \cdot b) = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} D^k a \cdot D^{(n+1-k)} b \end{eqnarray*}$

Da nehmen wir die linke Seite und legen los:

$\begin{eqnarray*} D^{n+1} (a \cdot b) = D(D^n(a \cdot b)) = D \left( \sum_{k=0}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n-k)} b \right) \end{eqnarray*}$ <-- hier die Induktionsvoraussetzung eingesetzt

Auf jeden Summanden der Summe die Produktregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^n \binom n k (D^{k+1} a \cdot D^{(n-k)} b + D^k a \cdot D^{(n+1-k)} b) \end{eqnarray*}$

Die Summe auseinander ziehen und Summanden abspalten:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^n \binom n k D^{k+1} a \cdot D^{(n-k)} b + \sum_{k=0}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n+1-k)} b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = D^{n+1}a \cdot b + \sum_{k=0}^{n-1} \binom n k D^{k+1} a \cdot D^{(n-k)} b + \sum_{k=1}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n+1-k)} b + a \cdot D^{n+1}b \end{eqnarray*}$

In der ersten Summe eine Indexverschiebung machen:

$\begin{eqnarray*} = D^{n+1}a \cdot b + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} D^{k} a \cdot D^{(n+1-k)} b + \sum_{k=1}^n \binom n k D^k a \cdot D^{(n+1-k)} b + a \cdot D^{n+1}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = D^{n+1}a \cdot b + \sum_{k=1}^{n}( \binom{n}{k-1} + \binom n k)D^{k} a \cdot D^{(n+1-k)} b + a \cdot D^{n+1}b \end{eqnarray*}$

Jetzt anwenden, daß $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k-1} + \binom n k = \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ gilt und die beiden Einzel-Summanden wieder in die Summe reinziehen. Fertig.

05.11.2008, 17:58

timhaller

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Das ist also der ganze Beweis?

Vielen Dank für die ausführliche Beschreibung...beim nächsten mal sollte ich es selber schaffen. smile

smile

05.11.2008, 18:05

klarsoweit

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Ja. Habe noch kleinere Korrekturen eingebaut. Müßte jetzt so stimmen. Überlege dir, was bei jedem Schritt passiert ist.

10.01.2010, 19:39

gast444

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danke vielmals!

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