Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

04.11.2008, 19:50

bappi

Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

Hi!

Die eigentlich recht leichte Aufgabe...

Seien $\begin{eqnarray*} f : A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : B \rightarrow C \end{eqnarray*}$ Abbildungen. Beweisen Sie:

Fall $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ injektiv sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv.
Fall $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ surjektiv sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv

Beweis:

f,g injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ injektiv

Nach Voraussetzung sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv. Dann

$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in \mathrm A: f(a) = f(a') \wedge a = a' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists b,b' \in \mathrm B: g(b) = g(b') \wedge b = b' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = g(b) = g(b') \end{eqnarray*}$

Es ist also:

$\begin{eqnarray*} c = g(b) \overset{b=f(a)}{=} g(f(a)) \overset{Def}{=} (g\circ f)(a)\quad \Box \end{eqnarray*}$

f,g surjektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow g\circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv

Wenn $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ surjektiv, dann ist $\begin{eqnarray*} f(A) = B \wedge g(B) = C \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \forall b\in \mathrm B \exists a \in \mathrm A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \forall c\in \mathrm C \exists b \in \mathrm B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(b) = c \end{eqnarray*}$

Somit ist

$\begin{eqnarray*} c = g(b) \overset{b=f(a)}{=} g(f(a)) \overset{Def}{=} (g\circ f)(a)\quad \Box \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist eigentlich nur was der Titel schon sagt, bzw. ob noch Ergänzungen vorzunehmen sind.

MfG!

04.11.2008, 20:27

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

Zitat:

Original von bappi
Nach Voraussetzung sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv. Dann

$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in \mathrm A: f(a) = f(a') \wedge a = a' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$

Was genau wolltest du hier sagen. Das was du schließlich aufgeschrieben hast ist eine Trivialität, nämlich, dass es ein x mit f(x)=f(x) gibt.

04.11.2008, 20:30

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition für die Injektivität.

Weil ich "b" ja im weiteren verwende um die Verknüpfung zu zeigen.

04.11.2008, 20:33

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber nicht die Definition für Injektivität.

04.11.2008, 20:36

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)
Also muss es heißen:

$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in \mathrm A: f(a) = f(a') \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$

Ändert aber am Rest nichts oder?

04.11.2008, 20:38

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

Zitat:

Original von bappi
$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in \mathrm A: f(a) = f(a') \wedge a = a' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$

Das erfüllt jede Funktion mit einem nichttrivialem Definitionsbereich. Also hat das nichts mit Injektivität zu tun.

04.11.2008, 20:39

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs grad geändert...aus versehen auf senden statt vorschau gekommen...

04.11.2008, 20:44

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

Zitat:

Original von bappi (berichtigt)

Beweis:

f,g injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ injektiv

Nach Voraussetzung sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv. Dann

$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in \mathrm A: f(a) = f(a') \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists b,b' \in \mathrm B: g(b) = g(b') \Rightarrow b = b' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = g(b) = g(b') \end{eqnarray*}$

Es ist also:

$\begin{eqnarray*} c = g(b) \overset{b=f(a)}{=} g(f(a)) \overset{Def}{=} (g\circ f)(a)\quad \Box \end{eqnarray*}$

Nee, so geht das nicht. unglücklich

Und ehrlich gesagt erschließt sich mir deine Idee nicht.

04.11.2008, 20:48

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm meine Idee war halt, weil f und g injektiv sind, und ja ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} b = f(a) \end{eqnarray*}$ ist (wegen $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ ), kann man das für b "ersetzen" und in $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ mit der Abbildung $\begin{eqnarray*} c = g(b) \end{eqnarray*}$ erinsetzen, per Definition ergibt sich ja dann $\begin{eqnarray*} g(f(a)) =: (g\circ f)(a) \end{eqnarray*}$ .

Vlt ist ein andere Weg sinvoller, wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} \exists a,a' \in A: a \neq a' \Rightarrow f(a) \neq f(a') \in B \Rightarrow g(f(a)) \neq g(f(a')) \Rightarrow (g\circ f)(a) \neq (g\circ f)(a') \end{eqnarray*}$

04.11.2008, 20:57

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du begründet, dass $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von A nach C ist, aber nicht die Injektivität. Versuch diese direkt zu zeigen, also beweise, dass für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in A \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ gilt.

04.11.2008, 21:08

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also heißt das

$\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A: g(f(a)) = g(f(a')) \Rightarrow f(a) = f(a') \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist injektiv und aus
$\begin{eqnarray*} f(a) = f(a') \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch injektiv ist. Also $\begin{eqnarray*} \forall a,a' \in A: g(f(a)) = g(f(a')) \Rightarrow a = a' \end{eqnarray*}$ .

04.11.2008, 21:46

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

05.11.2008, 12:52

bappi

Auf diesen Beitrag antworten »

Oki danke!

Neue Frage »

Antworten »

Folgerungen zur In/Surjektivität(nur überprüfen)

Verwandte Themen