Konvergenzradius von Potenzreihen

Neue Frage »

schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius von Potenzreihen
Hallo,

hab leider in den bisherigen Antworten noch nicht den Tipp gefunden, der bei mir den Groschen fallen lässt. Hoffe an meiner bestimmten Aufgabe den richtigen Tipp zu bekommen:



Danke
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du's schon mit der Cauchy-Hadamard-Formel probiert? Welchen Limsup müsste man denn dafür bestimmen?
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

mhmm, die Cauchy-Hadamard-Formel sagt mir nichts. Kenne nur das Cauchy-Kriterium, aber das Hilft mir ja nicht weiter
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit Cauchy Hadamard weiss ich nicht so recht
Ich würde das Quotientenkriterium mal versuchen.
Kennst du das?
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

jepp das kenne ich. das problem bei mir ist zur zeit, wie gehe ich mit dem binomialkoeffizient um und was wird aus dem "x"?
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

AAAlso das stinkt echt nach Quotientenkriterium
Du setzt wie folgt an, woweit ich mich erinnere...


Nun setzt du ein...Also du setzt nun den Koeffizienten ein.
Oben für alle n (n+1) einsetzten und hinschreiben und vereinfachen
Und in den Nenner nur der Koeffizient.
DAs z schlecppst du einfach mit ...

Setz mal ein und dann rechnen wir zusammen weiter ok?
EDIT:
Bin Mir im Moment nicht sicher, ob ds nicht größer als eins heißen muss
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... und so ganz nebenbei:

schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

mhmm, das verstehe ich jetzt auf keinen Fall. ALso ehrlich, bis jetzt kam ich im Studium ganz gut mit in Mathe, aber hier fühle ich mich einfach nur doof!






das wäre jetzt rien eingesetzt
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Das nennt man dann insider smile
Die muss man aber mal gesehen haben oder?
KENNST du denn, bzw. kannst du die Quotientenregel anwenden?
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich kenne die Quotientenregel. Kann auch Werte einsetzen, aber weiß nicht was ich damit machen soll!
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du weisst schon was der Binomialkoeffizient ist ne?
z.b.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

klar, hab ich ja auch so aufgeschrieben! leider ist das "malzeichen" nicht geglückt im formeleditor
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wenn du
hast
dann schreibste das mal als

Ich glaube dann kannste ne Menge kürzen
Genauso wie
mit dem im Nennter
SChreib mal hin was du hast?
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so weit, ist aber noch unnötig kompliziert, da Zähler und Nenner noch den Faktor n+1 enthalten.
Und jetzt den Limes für n gegen Unendlich bilden und überlegen: Für welche x ist dieser Limes kleiner als 1? Das ergibt dann den gültigen x-Bereich, aus dem man den Konvergenzradius ablesen kann.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Zumal du da einen kleinen Fehler gemacht hast
Und zwar darfst du nicht bei x^n einsetzen
Du musst nur den Koeffizienten nehmen
Und da hat das x nix mit zu tun
Du musst halt dein a_k nehmen und damit immer arbeiten
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich könnte auch schreiben:



für n gegen unendlich wird n+0,5 und n+1 immer ähnlicher nud fast geich, dann müsste x <00,5 sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Er kann doch x wie einen Parameter behandeln und auf den ganzen Ausdruck hinter dem Summenzeichen das Quotientenkriterium anwenden. Er ist ja auch fast schon fertig (siehe meinen letzten Beitrag).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Es gilt allgemein



wobei an Stelle der Pünktchen niedrigere Potenzen von n stehen.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

der Konvergenzradius wäre also 0,5?
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Naja aber ich vermute mal, dass er es "nur" über a_k machen soll.
Also so habe ich es letztes Semester gelernt.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

deakandy, was müsste ich aus deiner sicht her anderst machen?
stimmt das ergebniss?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ schmendrig

Ja. Denn für |x|<0,5 ist der Limes (für n gegen Unendlich) kleiner als 1 und für |x|>0,5 ist der Limes größer als 1. Im ersten Falle liegt also Konvergenz, im zweiten Falle Divergenz vor (Quotientenkriterium). Also ist der Konvergenzradius 0,5.

Edit: Beträge noch nachgeschoben, denn das Quotientenkriterium arbeitet mit Beträgen.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

aha, ok. das heißt also ich betrachte immer nur das x und vereinfache den therm so lange bis ich für n gegen unendlich direkt sehen kann wie es sich verhält?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich das natürlich ein für alle Mal allgemein überlegen. Dann kommt man auf Deakandys Vorgehen.

Die Potenzreihe



hat den Konvergenzradius



natürlich vorausgesetzt, der Limes existiert. Wenn er 0 ist, hat man übrigens r = Unendlich.

Das Quotientenkriterium ist immer zu empfehlen, wenn die Koeffizienten multiplikativ zusammengebaut sind, wie man es bei Potenzen, Fakultäten, Binomialkoeffizienten usw. hat.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

und da der lim 2 ist, komme cih auf die 0,5! ok!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »