Konvergenzradius von Potenzreihen |
01.06.2004, 16:48 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
Konvergenzradius von Potenzreihen hab leider in den bisherigen Antworten noch nicht den Tipp gefunden, der bei mir den Groschen fallen lässt. Hoffe an meiner bestimmten Aufgabe den richtigen Tipp zu bekommen: Danke |
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01.06.2004, 16:58 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hast du's schon mit der Cauchy-Hadamard-Formel probiert? Welchen Limsup müsste man denn dafür bestimmen? |
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02.06.2004, 07:12 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
mhmm, die Cauchy-Hadamard-Formel sagt mir nichts. Kenne nur das Cauchy-Kriterium, aber das Hilft mir ja nicht weiter |
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02.06.2004, 07:37 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also mit Cauchy Hadamard weiss ich nicht so recht Ich würde das Quotientenkriterium mal versuchen. Kennst du das? |
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02.06.2004, 07:39 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
jepp das kenne ich. das problem bei mir ist zur zeit, wie gehe ich mit dem binomialkoeffizient um und was wird aus dem "x"? |
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02.06.2004, 08:10 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
AAAlso das stinkt echt nach Quotientenkriterium Du setzt wie folgt an, woweit ich mich erinnere... Nun setzt du ein...Also du setzt nun den Koeffizienten ein. Oben für alle n (n+1) einsetzten und hinschreiben und vereinfachen Und in den Nenner nur der Koeffizient. DAs z schlecppst du einfach mit ... Setz mal ein und dann rechnen wir zusammen weiter ok? EDIT: Bin Mir im Moment nicht sicher, ob ds nicht größer als eins heißen muss |
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02.06.2004, 08:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
... und so ganz nebenbei: |
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02.06.2004, 08:23 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
mhmm, das verstehe ich jetzt auf keinen Fall. ALso ehrlich, bis jetzt kam ich im Studium ganz gut mit in Mathe, aber hier fühle ich mich einfach nur doof! das wäre jetzt rien eingesetzt |
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02.06.2004, 08:24 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das nennt man dann insider Die muss man aber mal gesehen haben oder? KENNST du denn, bzw. kannst du die Quotientenregel anwenden? |
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02.06.2004, 08:36 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
naja, ich kenne die Quotientenregel. Kann auch Werte einsetzen, aber weiß nicht was ich damit machen soll! |
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02.06.2004, 08:46 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber du weisst schon was der Binomialkoeffizient ist ne? z.b. |
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02.06.2004, 08:48 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
klar, hab ich ja auch so aufgeschrieben! leider ist das "malzeichen" nicht geglückt im formeleditor |
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02.06.2004, 08:50 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja und wenn du hast dann schreibste das mal als Ich glaube dann kannste ne Menge kürzen Genauso wie mit dem im Nennter SChreib mal hin was du hast? |
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02.06.2004, 09:04 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
02.06.2004, 09:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das stimmt so weit, ist aber noch unnötig kompliziert, da Zähler und Nenner noch den Faktor n+1 enthalten. Und jetzt den Limes für n gegen Unendlich bilden und überlegen: Für welche x ist dieser Limes kleiner als 1? Das ergibt dann den gültigen x-Bereich, aus dem man den Konvergenzradius ablesen kann. |
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02.06.2004, 09:37 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zumal du da einen kleinen Fehler gemacht hast Und zwar darfst du nicht bei x^n einsetzen Du musst nur den Koeffizienten nehmen Und da hat das x nix mit zu tun Du musst halt dein a_k nehmen und damit immer arbeiten |
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02.06.2004, 09:39 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, ich könnte auch schreiben: für n gegen unendlich wird n+0,5 und n+1 immer ähnlicher nud fast geich, dann müsste x <00,5 sein? |
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02.06.2004, 09:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wieso? Er kann doch x wie einen Parameter behandeln und auf den ganzen Ausdruck hinter dem Summenzeichen das Quotientenkriterium anwenden. Er ist ja auch fast schon fertig (siehe meinen letzten Beitrag). |
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02.06.2004, 09:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Es gilt allgemein wobei an Stelle der Pünktchen niedrigere Potenzen von n stehen. |
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02.06.2004, 09:47 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
der Konvergenzradius wäre also 0,5? |
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02.06.2004, 09:49 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja aber ich vermute mal, dass er es "nur" über a_k machen soll. Also so habe ich es letztes Semester gelernt. |
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02.06.2004, 09:51 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
deakandy, was müsste ich aus deiner sicht her anderst machen? stimmt das ergebniss? |
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02.06.2004, 09:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ schmendrig Ja. Denn für |x|<0,5 ist der Limes (für n gegen Unendlich) kleiner als 1 und für |x|>0,5 ist der Limes größer als 1. Im ersten Falle liegt also Konvergenz, im zweiten Falle Divergenz vor (Quotientenkriterium). Also ist der Konvergenzradius 0,5. Edit: Beträge noch nachgeschoben, denn das Quotientenkriterium arbeitet mit Beträgen. |
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02.06.2004, 09:56 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
aha, ok. das heißt also ich betrachte immer nur das x und vereinfache den therm so lange bis ich für n gegen unendlich direkt sehen kann wie es sich verhält? |
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02.06.2004, 10:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man kann sich das natürlich ein für alle Mal allgemein überlegen. Dann kommt man auf Deakandys Vorgehen. Die Potenzreihe hat den Konvergenzradius natürlich vorausgesetzt, der Limes existiert. Wenn er 0 ist, hat man übrigens r = Unendlich. Das Quotientenkriterium ist immer zu empfehlen, wenn die Koeffizienten multiplikativ zusammengebaut sind, wie man es bei Potenzen, Fakultäten, Binomialkoeffizienten usw. hat. |
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02.06.2004, 10:21 | schmendrig | Auf diesen Beitrag antworten » |
und da der lim 2 ist, komme cih auf die 0,5! ok! |
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