Entwickeln von Potenzreihen

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schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »
Entwickeln von Potenzreihen
Wie kann ich aus Funktionen eine Potenzreihe entwickeln?

Mein Prof hat mir 4 Aufgaben gegeben und ich weiß nicht was er von mir will.
Gibt es dazu ein allgemeingültiges "Rezept"

Zwei Aufgaben als Beispiel:

a)
b)
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das gibt es. Nennt sich Taylor-Reihe bzw. Taylor-Formel.

Dafür musst du die Ableitungen der Funktion an einer ausgewählten Stelle berechnen (meist an der Stelle x0 = 0), und in eine bestimmte Formel einsetzen:

Die Reihe auf der rechten Seite ist eine Potenzreihe, die unter bestimmten Bedingungen gegen f(x) konvergiert (Stichworte: Konvergenzradius und Restgliedabschätzung).


Für die zweite Funktion gibt es noch eine andere Möglichkeit:
Wir nehmen erstmal an, es gäbe eine Potenzreihe für
.
Die nennen wir
.
Wir bestimmen dann eine Bedingung, die die Koeffizienten a_n erfüllen müssen. Durch diese Bedingung wird F bereits eindeutig bestimmt sein. Dann müssen wir "nur noch" prüfen, dass F einen positiven Konvergenzradius hat und im Konvergenzkreis mit f übereinstimmt, also tatsächlich eine Potenzreihenentwicklung von f ist.

Die Bedingung, die wir an die Koeffizienten stellen, ergibt sich aus der Gleichung
für alle "zulässigen" x (welche das sind, wissen wir noch nicht, wir nehmen an, dass es ein Intervall um die 0 gibt, in dem die Reihe F mit f übereinstimmt).

Setzt man die Reihendarstellung von F in diese Gleichung ein und multipliziert aus, erhält man (nach zwei Indexverschiebungen)

Fasst man nun diese Reihen zusammen, erhält man
.
Diese Gleichung soll nun für unendlich viele verschiedene x-Werte gelten (im gesamten Konvergenzbereich), wir können also einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Dabei erhalten wir:
für n >= 2.
Daraus ergibt sich - Überraschung! - dass die Koeffizienten genau die Fibonacci-Zahlen sind.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal von mir. Jetzt muss ich nur noch kurz alles verdauen und hoffe, dass ich es dann anwenden kann. ALso, Danke nochmal
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

ok, hab mir das jetzt länger durch den kopf gehen lassen. mir fehlt aber der einstieg.
1. ich suche also die taylor-reihe die diesen ausdruck annähert
2. der aufbau der taylor-reihe ist klar.

3. wie fange ich an? setze ich werte ein, kann man direkt ablesen wie man die taylor-reihe bildet?
Zygmunt Auf diesen Beitrag antworten »

keine Werte einstzen, als erstes schaust du dir mal die ersten ableitungen an und überlegst dir ob da ein "muster" zu erkennen ist. bei der e funktion wäre das:

das setzt du dann in die Formel für die aufstellung der taylor Reihe ein und fertig bist du!
Zygmunt Auf diesen Beitrag antworten »

hab das nach dem vergesen....
 
 
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

und was wird aus dem (x-x0)?
Zygmunt Auf diesen Beitrag antworten »

wie SirJective schon gesagt hat entwickelt man die taylor reihe an einer stelle und das ist meistens bei , also steht da
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Taylor-Reihe sieht also so aus????


wie schreibt man das unendlichzeichen????
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

nach SirJective kann man die erste Gleichnung so umformen:


Fasst man nun diese Reihen zusammen, erhält man
.


Kann mir jemand diesen Schritt erklären?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Er hat die 2 Summanden (zwei bei der erste Summe, einen bei der zweiten Summe) abgspalten, so dass alle 3 Summen ab 2 laufen. Dann hat er die 3 Summen einfach zusammengefasst.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber ich seh das einfach nicht!
hört sich aber richtig an. ich glaube es euch auch.
danke
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »



Bei der ersten und der zweiten Summe werden einzelne Summanden abgetrennt:




Damit erhälst du die nächste Formel. Jetzt klarer?
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt verstehe ich es. ok. danke!

du hast dir den moderatorplatz wirklich verdient
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

achja, wir haben jetzt die Fibonacci-Zahlen, allerdings wie bekommt man daraus die Potenzreihe?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Fibonacci-Zahlen sind die Koeffizienten der Potenzreihe. Das hast du mit der Rechnung eben gezeigt.
Damit haben wir gezeigt:
Wenn es eine Potenzreihe gibt, die in einem Kreis um die Null mit positiven Radius mit der Funktion f übereinstimmt, dann sind ihre Koeffizienten die Fibonacci-Zahlen.

Jetzt müssen wir noch zeigen, dass die Potenzreihe, deren Koeffizienten die Fibonacci-Zahlen sind, tatsächlich einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit der Funktion f übereinstimmt.

Den Konvergenzradius kannst du mit dem Quotientenkriterium bestimmen, wenn du weisst, dass der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen den äusseren goldenen Schnitt (1+ sqrt(5))/2 konvergiert. Das hast ja vorhin schon schön gemacht und wirst es bestimmt wieder hinbekommen. smile

Die Übereinstimmung mit f kannst du beweisen, indem du zeigst, dass diese Potenzreihe mit (1-x-x^2) multipliziert genau 1 ergibt.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

ist das dann meine potenzreihe?
.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Reihe ist nur ein Zwischenschritt in der Herleitung der Koeffizienten. Durch Koeffizientenvergleich der linken mit der rechten Seite haben wir die notwendige Bedingung für die Koeffizienten a_n der Potenzreihe F(x) erhalten. Die Reihe F(x), ist unser Kandidat. Diese Herleitung diente nur dazu, uns eine Vorstellung davon zu geben, wie die Lösung aussehen muss.

Die eigentliche Lösung der Aufgabe ist das, was Irrlicht ab ihrem zweiten Absatz schreibt:
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass die Potenzreihe, deren Koeffizienten die Fibonacci-Zahlen sind, tatsächlich einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit der Funktion f übereinstimmt.

Wir definieren also die Potenzreihe
,
wobei nun f_n die n-te Fibonacci-Zahl ist. (Die andere Bezeichnung der Koeffizienten soll uns vor Verwirrung sparen. Ich hoffe, das erfüllt ihren Zweck.)
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

dazu noch eine Frage, für n=0 haben wir die erste Fibonacci-Zahl also 1?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn ihr einmal nichts zu tun habt, könnt ihr bei der Aufgabe b) den Nenner auch in Linearfaktoren zerlegen, Partialbruchzerlegung durchführen und mit ein bißchen Ausklammern und Substituieren die geometrische Reihe ins Spiel bringen. Durch Koeffizientenvergleich mit eurer bisherigen Lösung bekommt ihr dann eine Formel für die Fibonacci-Zahlen, die diese als Summen von Potenzen quadratischer Irrationalitäten darstellt (Binet).
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für der erste Koeffizient ist die 1.
schmendrig Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Partialbruchzerlegung hat der Dozent auch als Tipp dazugeschrieben. Leider fühle ich mich auf dem gesamten Gebiet der Folgen und Reihen total unwohl. Bin da immer total überfordert mit den Fragen und das obwohl ich bis jetzt eigentlich alles aus der Mathevorlesung im Griff hatte. Frust!
Da benötige ich wohl noch etwas Hilfe
aestas Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Wenn ihr einmal nichts zu tun habt, ist nett gesagt. Bei schmendrig weiß ich, dass das eher selten vorkommt.
Müssen halt den ganzen Tag arbeiten und dann noch für das Studium büffeln und Hausarbeiten anfertigen.
Irgendwann sieht man dann auch die einfacheren Umformungen in Mathe nicht mehr.
Möchte auf diese weise nochmal ein dickes DANKE loswerden, für die bisher super Antworten, die uns sehr gehlfen haben.
Ohne sie hätten wir bestimmt noch ne Zeitlang so verwirrt dagesessen oder am Ende so :P
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