Kurve rektifizieren

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17.08.2006, 13:13	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve rektifizieren HI! Könnt ihr mir helfen diese kurve zu rektifizieren? Ich glaub ich häng mal wieder am integral... $\begin{eqnarray} f(x) = (x, \sqrt{x} ) \end{eqnarray}$ in [0,t] $\begin{eqnarray} f'(x) = (1, \frac{1}{2\sqrt{x}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f'(x)\| = \sqrt{1+ \frac{1}{4x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t}~ \sqrt{1+ \frac{1}{4x} }~dx \end{eqnarray}$ ... und hier komm ich nicht weiter... viele grüße
17.08.2006, 18:09	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Grässliches Integral... $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{4 \sinh^2 z} \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} u = \sinh z \end{eqnarray}$ . Beide Male brauchst du $\begin{eqnarray} \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x \end{eqnarray}$ .
17.08.2006, 19:18	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
THX a lot für deine tipps! also ich bin jetzt soweit gekommen: $\begin{eqnarray} (1+ \frac{1}{4 \frac{1}{4sinh^2(z)}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (1+sinh^2(z))^{1/2} = (1+cosh^2(z)-1)^{1/2} = cosh(z) \end{eqnarray}$ dann hab ich noch dx berechnet: $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dz}= (4sinh^{-2}(z) )' = -8 sinh^{-3}(z) cosh(z) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} dx= -8 sinh^{-3}(z) cosh(z) \end{eqnarray}$ ich find nur leider meinen fehler nicht, denn das cosh(z) müsste sich doch wegkürzen, oder?
17.08.2006, 20:15	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Konstante bist du beim Differenzieren nicht richtig umgegangen (sie ist 1/4, nicht 4), und nein, bei der ersten Substitution kürzt sich der cosh noch nicht weg. Ich habe dummereweise einen Abschreibefehler gemacht, sodass sich das entstehende Integral $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int~\frac{\cosh^2 z}{\sinh^3 z}~\dd{z} \end{eqnarray}$ leider nicht so lösen lässt, wie ich das zuerst dachte. Mit $\begin{eqnarray} u:=\sinh z \end{eqnarray}$ kommt man dann auf $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int~\frac{\sqrt{u^2+1}}{u^3}~\dd{u} \end{eqnarray}$ , was auch nicht wirklich Spaß macht...
17.08.2006, 21:50	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
oha help .. .das wird ja immer komplizierter, ... aber dann ist die aufgabe wird so eine aufgabe wohl eher nicht klausur-relevant sein, oder...?
18.08.2006, 17:15	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, es ist $\begin{eqnarray} \int~\sqrt{1+\frac{1}{4x}}~\dx={{\sqrt{{{1}\over{4x}}+1}}\over{4\left({{1}\over{4x}}+1 \right)-4}}+\frac{1}{8}\ln \left(\frac{\sqrt{{{1}\over{4x}}+1}+1}{\sqrt{{{1}\over{4x}}+1}-1}\right)+c \end{eqnarray}$ . Wenn man den Term des CAS intepretiert (den ich schon wieder etwas vereinfacht habe), liegt es nahe, dass mindestens zwei Mal partielle Integration beteiligt war. Ich habe noch keine Klausuren an einer Universität geschrieben, aber m.W. sind die gar nicht so besonders lang, also glaube ich nicht, dass diese Aufgabe in einer Klausur drankommen könnte.
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18.08.2006, 17:30	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
das glaube ich auch nicht, es wird in den klausuren nicht so viel wert auf "Stammfunktionieren" gelegt, sondern eher auf das Verständnis der Zusammenhänge... Jedenfalls bei uns. Sowas könnte ne Übungsaufgabe sein, zum Knobeln, aber keine Klausuraufgabe. mfg 20
18.08.2006, 18:07	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke euch, das ist ja beruhigend...! was heißt eigentlich "CAS" @ sqrt(2)?
18.08.2006, 18:13	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Computer Algebra System mfg 20
18.08.2006, 18:24	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, okay dann weiß ich das auch =)

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