Konvergenz der Fibonacci-Zahlen

05.11.2008, 13:23	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Fibonacci-Zahlen So das letzte für diese Woche :-) Die Folge fn der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch ... (denke ich wissen die meisten) b) Nehmen sie an es gebe a>0, x>0 so dass $\begin{eqnarray} \frac{f_n}{x^n} \hspace{0.5cm}konvergent\hspace{0.1cm} gegen \hspace{0.5cm} a \end{eqnarray}$ Bestimmen sie x. Jetzt weiss ich ja, das fn/fn+1 gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Dann könnte ich x=n-te Wurzel aus fn+1 und a gleich den Goldenen Schnitt setzen dann würds passen. Aber irgendwie soll da was gerechnet werden, ich weiss bloß nicht was.
05.11.2008, 13:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
x soll fest sein. Zeige: Für alle $\begin{eqnarray} 0<x<\Phi \end{eqnarray}$ divergiert $\begin{eqnarray} \frac{f_n}{x^n} \end{eqnarray}$ bestimmt nach unendlich. Für alle $\begin{eqnarray} x > \Phi \end{eqnarray}$ konvergiert $\begin{eqnarray} \frac{f_n}{x^n} \end{eqnarray}$ gegen 0. Da du angenommen ist, dass solch ein x existiert, ist es dadurch zwangsläufig eindeutig bestimmt. Hilfreich ist dabei z.b. folgende Aussage http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=377704
05.11.2008, 14:12	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also quasi das ganze dann für: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5} } \cdot ((\phi_+^2+\phi_-^2) \end{eqnarray}$ zeigen?
05.11.2008, 20:17	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich für x den goldenen Schnitt einsetze konvergiert die Folge gegen irgendwas mit 0,4... Reicht es dann zu zeigen das sie für genau das x konvergent ist oder muss man irgendwie rechnerisch auf das x kommen, schließlich heisst die Aufgabe "Bestimmen sie x" nicht raten sie x... Erschwerend kommt noch hinzu, dass die explizite Form nicht als bekannt angenommen werden darf.
05.11.2008, 21:54	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ganz einfach. Setze $\begin{eqnarray} g_n := \frac{f_n}{x^n}. \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} g_{n+1} = \frac{f_n + f_{n-1}}{x^{n+1}}, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x^2 g_{n+1} = xg_n + g_{n-1}. \end{eqnarray}$
06.11.2008, 08:40	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ich habs :-)
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07.11.2008, 03:13	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib es gemäß unserer Tradition auch hier rein. Danke.
12.11.2008, 08:17	rajsato	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar wenn das so ist ;-) Wir haben gesagt das gn konvergiert. Durch den Grenzübergang erhalten wir die Gleichung $\begin{eqnarray} a(x^2)-ax-a=0 \end{eqnarray}$ glaube ich, habs nicht mehr genau im Kopf. Da kann man a ausklammern, a=0 widerspricht aber den Anforderungen also keine Lösung. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert dann den goldenen Schnitt als einzige Ergebnis > 0. :-)

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