Trassierungsproblem

05.11.2008, 16:26

Zelos

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Trassierungsproblem

Es gibt Neues von meiner Lieblingsmathelehrerin. smile

smile

Es geht um die Aufgabe 2.
Abgesehen von den beiden Rechtschreib- und dem Grammatikfehler(n) bräuchte ich einen Lösungsansatz, da ich leider gar keine Ahnung habe, wie ich da rangehen könnte.

Was ich weiß, ist nur, dass ich P1(1/1) und P2(0/0) habe und eine knickfreie Parabel dort durch gehen soll.
Dann haben wir in der letzten Stunde noch Bedingungen aufgeschrieben, die gelten müssen, damit die Verbindung "knickfrei" ist:
$\begin{eqnarray*} f(a)=g(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(a)=g'(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(a)=g''(a) \end{eqnarray*}$

wobei f die gesamte Funktion und g die Funktion der Halbgerade ist.

Durch die Aufgabenstellung von a) bin ich schon genug verwirrt, da ich keine Ahnung habe, was ich da schreiben könnte.
Und wie ich auf die Bedingungsgleichungen kommen soll, weiß ich leider auch nicht.
Inwiefern helfen mir denn diese f=g-Bedingungen?

Mein einziger Lösungsansatz wäre, die Funktion der Gerade links erstmal zu bestimmen, da die ja anscheinend die gleiche sein soll wie die von f...
Aber die Gerade hat ja quasi die Funktionsgleichung 0.

05.11.2008, 17:53

Zelos

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Ach, ich hab's schon raus.
Kann geschlossen/gelöscht werden. smile

smile

05.11.2008, 17:55

Jacques

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Hallo,

Warum sollte der Thread geschlossen oder gelöscht werden? Es gibt sicher noch genügend andere, die sich die Aufgabe ansehen werden (als Übung o. ä.). Vielleicht könntest Du für die Deine Lösung aufschreiben? Außerdem könnte man sie dann auch überprüfen.

Dass man die beiden Straßenstücke über eine einzige Funktion beschreiben soll, kommt mir z. B. ein bisschen komisch vor...

Es geht zwar, aber ich würde eher zwei lineare Funktionen nehmen.

05.11.2008, 18:46

Zelos

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Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Warum sollte der Thread geschlossen oder gelöscht werden? Es gibt sicher noch genügend andere, die sich die Aufgabe ansehen werden (als Übung o. ä.). Vielleicht könntest Du für die Deine Lösung aufschreiben? Außerdem könnte man sie dann auch überprüfen.

Dass man die beiden Straßenstücke über eine einzige Funktion beschreiben soll, kommt mir z. B. ein bisschen komisch vor...

Es geht zwar, aber ich würde eher zwei lineare Funktionen nehmen.

Nein, nein. Man soll nur eine Funktion für das fehlende Stück finden.
Ich hab mich etwas vertan mit dem f(x) = g(x).
Das gilt natürlich nicht für die gesamte Funktion, sondern nur für die einzelnen Funktionsabschnitte.

a) Die Steigung muss in den Verbindungspunkten gleich sein -> 1. Ableitung ist gleich.
Außerdem müssen die Verbindungspunkte gleichzeitig Punkte auf dem gesuchten Graphen sein.

b)
Die gesuchte Funktion ist f(x), die linke g(x) und die rechte h(x).

Geradengleichungen:
$\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=2x-1 \end{eqnarray*}$

Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x) -> f(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) -> f(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=f'(x) -> f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x)=f'(x) -> f'(1)=2 \end{eqnarray*}$

LGS:
$\begin{eqnarray*} a+b+c=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_f[0;1] \end{eqnarray*}$

Die Punkte hab ich auch schon überprüft.
Jedem x-Wert im Definitionsbereich wird der korrekte y-Wert zugeordnet.
Sollte also so richtig sein.

05.11.2008, 19:04

Jacques

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Erstmal: Korrekt, dass Du Deine Lösung noch online stellst. Freude

Freude

Also ich würde ein bisschen anders aufschreiben: Die linke Funktion soll also g heißen, die rechte h, und die gesuchte Funktion ist f.

Für die Funktion f würde man zunächsten den Grad 3 wählen:

$\begin{eqnarray*} f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} f(0) = g(0) \ \Longleftrightarrow\ d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = h(1) \ \Longleftrightarrow\ a + b + c + d = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) \ \Longleftrightarrow\ c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(1) = h^{\prime}(1) \ \Longleftrightarrow\ 3a + 2b + c + d = 2 \end{eqnarray*}$

[Schreibe nicht „f(x) = g(x)“, wenn Du in Wahrheit sagen willst, dass sich die Graphen einander an einer bestimmten Stelle wie 0 schneiden. Du musst dann vielmehr schreiben f(0) = g(0).]

Am Ende kommt tatsächlich heraus

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \qquad D_f = [0;1] \end{eqnarray*}$

// Hast Du für b) schon eine Idee? Ich dachte zuerst an eine konstante Krümmung, aber das gilt für die Funktion ja sowieso.

verwirrt

verwirrt

05.11.2008, 19:14

Huggy

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Bei der Lösung ist aber noch nicht Teil b) der Aufgabe berücksichtigt, der auch die Gleichheit der zweiten Ableitung an den Übergangsstellen erfordert.

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05.11.2008, 19:27

Zelos

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f(0)=g(0) habe ich übrigens aufgeschrieben, als Zwischenschritt.
Ich wollte das gerade nur kurz halten.
Außerdem hat die Lehrerin es uns genau so an die Tafel geschrieben, also lass ich es erstmal lieber so.

Ich habe auch eine Funktion zweiten Grades gewählt, weil mir das doch stark nach einer Parabel aussah, was dann hat auch stimmte.

Zu b):
Ich dachte, das wäre mit der Lösung des LGS getan.
Bei a) wird doch eigentlich nur verlangt, zu sagen, was "knickfrei" für die Bedingungen für eine Bedeutung hat.
Bei b) sollen dann die Gleichungen aufgestellt und das LGS gelöst werden.

Müsste ich denn jetzt nicht eigentlich nur prüfen, ob die zweite Ableitung auch 0 ist?
Dann wäre die Frage ja, wie ich die Wendestelle rauskriege, da dort ja die zweite Ableitung 0 sein müsste.
Da bin ich leider überfragt.

// Die zweite Ableitung wäre ja
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2 \end{eqnarray*}$ , was ja ungleich 0 ist.
Was fang ich denn jetzt damit an?

05.11.2008, 19:36

Huggy

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Teil b) erfordert

$\begin{eqnarray*} f''(0)=g''(0)=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f''(1)=h''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Und das wird von

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

nicht erfüllt-

Edit: "Was fange ich damit an?"
Du musst ein Polynom von höherer Ordnung ansetzen.

05.11.2008, 19:38

Jacques

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Zitat:

Original von Zelos

f(0)=g(0) habe ich übrigens aufgeschrieben, als Zwischenschritt.
Ich wollte das gerade nur kurz halten.
Außerdem hat die Lehrerin es uns genau so an die Tafel geschrieben, also lass ich es erstmal lieber so.

Kannst Du natürlich machen, aber mathematisch ergibt das wenig Sinn. Was soll z. B. „f(x) = g(x)“ denn bedeuten? Dass die Funktionen an jeder Stelle denselben Funktionswert haben? Dass sie irgendwann einander schneiden? Also man würde alles vermuten, nur die eigentliche Aussage f(0) = g(0) kann man da nicht herauslesen.

Streng genommen ist „f(x) = g(x)“ überhaupt keine Aussage. Aber wenn es die Lehrerin so will... Erstaunt2

Erstaunt2

Zitat:

Original von Zelos

Ich habe auch eine Funktion zweiten Grades gewählt, weil mir das doch stark nach einer Parabel aussah, was dann hat auch stimmte.

Das klingt aber nicht sehr mathematisch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde eher wieder mit der Anzahl der Gleichungen argumentieren...

Zitat:

Original von Zelos

Zu b):
Ich dachte, das wäre mit der Lösung des LGS getan.
Bei a) wird doch eigentlich nur verlangt, zu sagen, was "knickfrei" für die Bedingungen für eine Bedeutung hat.
Bei b) sollen dann die Gleichungen aufgestellt und das LGS gelöst werden.

Nein, bei b) wird noch eine zusätzliche Forderung an die Funktion gestellt: Es sollen auch die Steigungen knickfrei ineinander übergehen, siehe der Hinweis von Huggy.

Du musst eine neue Funktionsgleichung aufstellen.

05.11.2008, 19:43

Huggy

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@Jaques
Jetzt lasse ich dich wieder weiter machen!

05.11.2008, 19:51

Zelos

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Ach, verdammt, jetzt habe ich kaum noch Zeit, um das bis morgen fertig zu machen.

f''(x) soll also 0 sein.
Aber wie krieg ich jetzt die Stelle raus, für die das gilt?
Dann müsste ich ja jetzt einfach sagen können, dass
$\begin{eqnarray*} g''(0)=f''(0) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} h''(0)=f''(0) \end{eqnarray*}$
oder?

Ich würde dann laut der Lehrerin ein Polynom 3. Grades nehmen.
Ich habe eine Wendestelle, also 1 Nullstelle in der 2. Ableitung und 3 in der Funktion.

Dann kommen wohl die beiden Bedingungen zu denen dazu, die ich schon habe, oder?

//Ich versuch gerade, mich von der Entscheidung nach dem Grad durch die Bedingungen zu lösen, weil die Lehrerin in der Klausur nur den Weg mit den Nullstellen akzeptieren wird.
Bitte nicht hauen. smile

smile

05.11.2008, 20:08

Jacques

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Zitat:

Original von Zelos

f''(x) soll also 0 sein.

Nein, „f''(x)“ bezeichnet gar keine Zahl, sondern den Funktionsterm.

Du meinst vielmehr f''(0) = 0 und f''(1) = 0. Hier hast Du es ja auch korrekt aufgeschrieben:

Zitat:

Original von Zelos

Dann müsste ich ja jetzt einfach sagen können, dass
$\begin{eqnarray*} g''(0)=f''(0) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} h''(0)=f''(0) \end{eqnarray*}$
oder?

Zitat:

Original von Zelos

Ich würde dann laut der Lehrerin ein Polynom 3. Grades nehmen.
Ich habe eine Wendestelle, also 1 Nullstelle in der 2. Ableitung und 3 in der Funktion.

Der Grad 3 reicht aber nicht aus. Deine Lehrerin hat ja auch nur gesagt, dass man von der Zahl der Nullstellen in den Ableitungen auf den Mindestgrad schließen kann -- aber nicht auf den tatsächlichen Grad!

Zitat:

Original von Zelos

//Ich versuch gerade, mich von der Entscheidung nach dem Grad durch die Bedingungen zu lösen, weil die Lehrerin in der Klausur nur den Weg mit den Nullstellen akzeptieren wird.
Bitte nicht hauen. smile

smile

Wie gesagt: Deine Lehrerin hat gar nicht behauptet, dass die Zahl der Nullstellen den Grad vorgibt.

Und dies hier ist ja ein gutes Beispiel dafür.

05.11.2008, 20:24

Zelos

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Dann habe ich jetzt mal die beiden letzten Bedingungen aufgestellt.
Insgesamt habe ich dann 6, was den 5. Grad bedeuten würde.
Ich bekomme dann folgende Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d+e+f=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5a+4b+3c+d+e=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 20a+12b+6c+d=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$

und komme auf

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^4+2x^3 \end{eqnarray*}$

Von den Zahlen her sieht das richtig aus, aber habe ich die letzten beiden Gleichungen richtig aufgestellt?
$\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
also d=0
und
$\begin{eqnarray*} f''(1)=0 \end{eqnarray*}$ ,
also 20a+12b+6c+d=0

05.11.2008, 20:35

Jacques

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Es ist alles vollkommen richtig. Freude

Freude

Auch einwandfrei aufgeschrieben.

Du kannst ja zum Schluss noch die Probe machen, ob die Funktion auch wirklich alle Forderungen erfüllt.

05.11.2008, 20:39

Zelos

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Ich wüsste gerne mal, wie ich das Gleichungssystem schöner aufschreibe.
Die ganzen Latex-Hilfen helfen mir irgendwie nicht viel...

Ich möchte noch kurz zur ersten Aufgabe kommen.
Egal, wie ich das Koordinatensystem wähle.
Ich kriege immer 3 Bedingungen, von denen 2 jeweils das gleiche aussagen und zu 0=0 werden.
Ich nehme die beiden Punkte als Bedingung und die erste Ableitung beim Maximum.
Wähle ich den Punkt 0/0 bei A, ist der x-Wert beim Maximum ja 25; wähle ich ihn -25, ist der x-Wert beim Maximum 0.
Aber nachher bekomme ich entweder nur die Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 625a+25b+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 625a-25b+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$

oder diese hier:

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 50a+b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2500a+50b+c=0 \end{eqnarray*}$

Brauch ich noch eine Bedingung mehr oder gibt's da irgendeine andere Lösung?

07.11.2008, 14:58

Zelos

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Ich glaube, ich habe den Fehler gefunden.
Die Bedingungen waren einfach noch nicht vollständig...
Vielleicht möchte sich das nochmal jemand ansehen.

Funktionen zweiten Grades sind ja, soweit ich weiß, immer achsensymmetrisch.
Somit sollte für die Punkte A und B das Gleiche gelten.

Ich habe jetzt die y-Achse in die Mitte der Brücke gelegt und erhalte folgende Punkte:
A(-25/0) [45°]
B(25/0) [45°]

Die Steigung bei A (45°) müsste 1 sein, glaube ich....
Dann wäre die Steigung bei B -1...
Jedenfalls ergeben sich daraus diese Bedingungen:

A liegt auf dem Graphen:
$\begin{eqnarray*} f(-25)=0 \end{eqnarray*}$

Steigung bei A ist 1:
$\begin{eqnarray*} f'(-25)=1 \end{eqnarray*}$

Hochpunkt bei x=0
$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Punkt B habe ich jetzt rausgelassen, da das Ganze ja achsensymmetrisch ist.

Daraus ergeben sich dann folgende Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 625a-25b+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -50a+b=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich
a=-0,02
b=0
c=12,5

also

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,02x^2+12,5 \end{eqnarray*}$

Laut Probe passt alles.
Alle Punkte liegen auf dem Graphen, bei x=0 liegt ein Maximum vor.

07.11.2008, 15:06

tigerbine

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Zitat:

Funktionen zweiten Grades sind ja, soweit ich weiß, immer achsensymmetrisch.

Zu welcher Achse? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2008, 15:11

Zelos

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Funktionen zweiten Grades sind ja, soweit ich weiß, immer achsensymmetrisch.

Zu welcher Achse? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, kommt drauf an.
In diesem Fall zur y-Achse.
Ginge die Parabel jetzt über die x-Achse, wär sie achsensymmetrisch zur x-Achse.

07.11.2008, 15:18

tigerbine

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Und nun ?

Augenzwinkern

07.11.2008, 15:20

Zelos

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Entweder kann ich mich einfach nicht richtig ausdrücken, oder ich bin auf dem Holzweg...
Dann sind wahrscheinlich nur die Parabeln y-achsensymmetrisch, bei denen der Scheitelpunkt bei x=0 liegt, oder?

// x, nicht y...

07.11.2008, 15:24

tigerbine

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Sei s die x-Koordinate des Scheitels. Dann sind Parabeln (als Graphen von Polynomen mit maximalgrad 2) symmetrisch zur "Achse" x=s. Im Falle s=0 ist das die y-Achse.

07.11.2008, 15:29

Zelos

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Ich denke, das habe ich jetzt verstanden, danke.
Die Aufgabe müsste ich aber dann (unbewusst) trotzdem richtig gelöst haben.
Den Scheitelpunkt habe ich auf x=0 gesetzt, somit ist die Parabel y-achsensymmetrisch und die Bedingungen sollten stimmen.

07.11.2008, 15:54

tigerbine

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Da ich um deine Schwierigkeiten mit der Lehrerin weiß, wollte ich nur allgemein vorbeugen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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