Induktionsbeweise ohne Ungleichungen mit Ungleichungen lösen?

05.11.2008, 15:42

NeedNoNick

Induktionsbeweise ohne Ungleichungen mit Ungleichungen lösen?

Hallo, ich hab eine Frage, ich weiss nicht so ganz was der Professor uns damit sagen möchte, also warum er das mit Ungleichungen lösen möchte? Es ginge doch einfacher nicht? Warum macht er es den so... und wie kommt der auf das was dazwischen steht?

Zwei Beispiele von ihm:

a)

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \geq 4: 2^n \geq n^2 \\ Induktionsschluss: \\ 2^{n+1} = 2*2^n \geq 2n^2 = n^2+n^2 \geq n^2+4n=n^2+2n+2n \geq n^2 + 2n +1 = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R > -1, x \neq 0 ; \forall n \in \mathbb N \geq 2: (1+x)^n > 1+n*x\\ Induktionsschluss: \\ (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n}(1+x) > (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2 > 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 21:01

Zizou66

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Was genau verstehst du denn nicht? Eigentlich sind die Beweise sehr einfach und elegant, finde ich.
Die Schritte sind lediglich einfache Umformungen und Abschätzungen, das ist alles.

06.11.2008, 07:10

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweise ohne Ungleichungen mit Ungleichungen lösen?

Zitat:

Original von NeedNoNick
ich weiss nicht so ganz was der Professor uns damit sagen möchte, also warum er das mit Ungleichungen lösen möchte?

Weißt du denn, was der Professor überhaupt zeigen wollte? Ich finde an dieser Stelle auch den Titel des Thread "Induktionsbeweise ohne Ungleichungen mit Ungleichungen lösen?" etwas befremdlich.

Zitat:

Original von NeedNoNick
Es ginge doch einfacher nicht?

Wenn du eine bessere Idee hast, nur zu.

Zitat:

Original von NeedNoNick
Warum macht er es den so... und wie kommt der auf das was dazwischen steht?

Das "warum" ergibt sich aus dem Prinzip der vollständigen Induktion und wie er auf die Zwischenschritte kommt, ist völlig unerheblich. Entscheidend ist, daß du diese zustimmend nachvollziehen kannst.

06.11.2008, 09:50

NeedNoNick

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"Was genau verstehst du denn nicht? "

Warum er es auf die Weise macht, ich dachte zb dass man
2^n >= n²
mit
2^n+1 => (n+1)²
=
2*2^n => n² + 2n + 1
=
2^n * (2) => n² + (2n + 1)

Sollte man es nicht so machen?
Ich versteh nicht, wie die Ungleichungen das beweisen sollen ...

06.11.2008, 09:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von NeedNoNick
2^n+1 => (n+1)²

Das ist doch formal schon Nonsens. Aus 2^n+1 folgt nicht (n+1)² . Das ist wie "nachts ist es kälter als draußen". Deswegen auch meine Frage "Weißt du denn, was der Professor überhaupt zeigen wollte?"

Also so lautet es formal richtig:

Im Induktionsschritt wollen wir zeigen, daß gilt: $\begin{eqnarray*} 2^n \geq n^2 \Rightarrow 2^{n+1} \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

EDIT: habe wohl das "=>" falsch verstanden. Siehe dann meinen nächsten Beitrag.

06.11.2008, 13:43

Zizou66

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist doch formal schon Nonsens. Aus 2^n+1 folgt nicht (n+1)²

Ich glaube er meinte mit dem "=>" eigentlich das hier: $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$

Das macht dann auch, zumindest primär auf die Aufgabe bezogen Sinn.
Ein weiteres Indiz dafür, sich schnellstmöglich die Grundbegriffe des LaTex anzueignen, oder zumindest leichte Verwechslungsmöglichkeiten zu vermeiden.

06.11.2008, 13:53

klarsoweit

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Ahh, ok, da muß man erst drauf kommen. Hammer

@NeedNoNick: Also auf ein neues:

Im Induktionsschritt wollen wir zeigen, daß gilt: $\begin{eqnarray*} 2^n \geq n^2 \Rightarrow 2^{n+1} \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Da nimmt man sich die linke Seite und formt um:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2 \cdot n^2 = n^2 + n \cdot n \geq n^2 + n \cdot (2 + \frac 1 n) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Alles klar?

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