Bildungsgesetze von Reihen

05.11.2008, 18:04

Nachtzauber

Bildungsgesetze von Reihen

Kann mir jemand weiterhelfen:

Ich habe Glied a3 und a8 einer geometrischen Reihe gegeben und soll nun das Bildungsgesetz angeben sowie feststellen, ob die Reihe konvergent ist..

Wie erstelle ich denn hier das Gesetz? Ich hab ja kein a1 gegeben???

05.11.2008, 18:07

Nachtzauber

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RE: Bildungsgesetze von Reihen
Bildugnsgesetz für an meinte ich

05.11.2008, 18:15

Jacques

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Hallo,

Bist Du sicher, dass Du eine geometrische Reihe und keine Folge meinst?

In jedem Fall solltest Du zuerst das allgemeine Bildungsgesetz aufschreiben. Denn setzt Du die gegebenen Glieder ein und berechnest die entsprechenden Parameter im allgemeinen Term.

05.11.2008, 18:18

Nachtzauber

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ja okay, da steht geometrische folge... ich hab immer noch k.a., was da der unterschied ist... einmal steht reihe da, einmal folge...

an= a1+q^n-1

das ist das einzige was ich hier bei den geometrischen folgen kenne

und an+1/ an= q für alle n

aber irgendwie komm ich damit doch auch nicht weiter?

05.11.2008, 18:28

Jacques

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Zitat:

Original von Nachtzauber

ja okay, da steht geometrische folge... ich hab immer noch k.a., was da der unterschied ist... einmal steht reihe da, einmal folge...

Das sind vollkommen unterschiedliche Objekte: Eine geometrische Reihe ist quasi eine „unendliche Summe“ über einer geometrischen Folge, d. h. es werden sämtliche Folgenglieder addiert.

Kennst Du allgemein die Definition der Reihe?

Zitat:

Original von Nachtzauber

an= a1+q^n-1

das ist das einzige was ich hier bei den geometrischen folgen kenne

Das stimmt noch nicht:

Allgemein lautet das n-te Glied einer geometrischen Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$

(nicht +q, sondern *q)

Wenn Du a3 und a8 kennst, stellst Du zwei Gleichungen auf, in denen die Unbekannten a1 und q vorkommen. Und aus diesem Gleichungssystem lassen sich dann gerade diese Unbekannten bestimmten.

05.11.2008, 19:21

Nachtzauber

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ja ich meinte ja * und nicht +, muss die umschalttaste vergessen haben

ich hab hier eine definition, aber so wirklich versteh ich den unterschied nicht so ganz...

reihe= folge, deren n-tes glied als summe der ersten n-glieder einer anderen folge geschrieben werden kann

nach der summenbildung kann man die summe sn als neue folge betrachten, daher nennt man diese reihe auch teilsummenfolge...

und eine folge ist eine funktion, deren def.bereich gleich der menge der natürl. zahlen ist...

mit dem nach a1 umstellen...

a8= a1* q^8-1

a1= a8/ q^7

aber ich hab q ja auch nicht... bzw kann das nicht bestimmen, weil ich keine 2 folgeglieder habe...

sorry mein mathe ist schon bald 6 jahre her und das hab ich noch nie gehabt.. im mom tu ich mich da echt sehr schwer

05.11.2008, 19:54

Jacques

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Also als naive Definition könnte man sagen: Eine Folge ist eine Anordnung von Zahlen. Eine Reihe ist die Summe all dieser Zahlen.

Mathematisch korrekt: Eine Folge ist eine Funktion von N* nach R.

Und zur Definition der Reihe:

Die Grundidee ist also, dass man alle Glieder einer Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}^{\ast}} \end{eqnarray*}$ summiert. Weil es aber keine „unendlichen Summen“ gibt, behilft man sich mit einer anderen Definition:

Man bildet sog. Partialsummen (Teilsummen)

$\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2 = a_1 + a_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_3 = a_1 + a_2 + a_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$

D. h. die n-te Partialsumme ist die Summe der ersten n Folgenglieder.

Wenn man jetzt die Folge dieser Partialsummen bildet, also $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb{N}^{\ast}} \end{eqnarray*}$ , dann entspricht diese Folge quasi der „unendlichen Summe“ aller Folgenglieder.

Deswegen die Definition: Eine Reihe ist die Folge der entsprechenden Partialsummen.

-------------------------

Zur Aufgabe:

Es ist aber nicht nur a8 gegeben, sondern auch a3. Deswegen kannst Du zwei Gleichungen aufstellen bzw. ein System von Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} a_3 = a_1 \cdot q^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_8 = a_1 \cdot q^{7} \end{eqnarray*}$

Und mit diesem System ermittelt man a1 und q.

Sind die a3 und a8 denn zahlenmäßig bekannt?

05.11.2008, 20:03

Nachtzauber

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05.11.2008, 20:04

Nachtzauber

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danke =) das schreib ich mir gleich nochmal auf... damit ich das so nachvollziehen kann...

also ich hab das bisher so hier stehen:

a8= a1* q^7= a3*q^5

a8= a3* q^5 /* a3

a8/a3= q^5

und dann häng ich fest

logarithmus? wurzel? gute frage

edit: ich bin echt blöd...

einfach a8 durch a3 teilen und dann dort die 5te wurzel ziehen
_________________

05.11.2008, 20:16

Jacques

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Deine Herangesehensweise ist wohl sogar noch besser als der Weg über das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} a_8 = a_3 \cdot q^5 \ \Longleftrightarrow\ q^5 = \frac{a_8}{a_3} \end{eqnarray*}$

Um an q zu kommen, musst Du die fünfte Wurzel ziehen. Sofern a3 und a8 beide positiv oder beide negativ sind, gilt einfach

$\begin{eqnarray*} q = \sqrt[5]{\frac{a_8}{a_3}} \end{eqnarray*}$

Ansonsten

$\begin{eqnarray*} q = \mathop{\mathrm{sgn}}\left( \frac{a_8}{a_3} \right) \sqrt[5]{\left| \frac{a_8}{a_3} \right|} \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 20:30

Nachtzauber

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ähm ja aber wie bin ich jetzt eigentlich auf q^5 gekommen... für a8= a1* q^8-1
und a3= a1* q^3-1 komm ich da doch nich auf q5...

oh mann...das is sicher voll simpel und ich bring jetzt alles durcheinander

05.11.2008, 20:46

Jacques

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Zitat:

Original von Nachtzauber

ähm ja aber wie bin ich jetzt eigentlich auf q^5 gekommen... für a8= a1* q^8-1
und a3= a1* q^3-1 komm ich da doch nich auf q5...

Nein, Du hast einfach die Beziehung zwischen den Folgengliedern ausgenutzt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \cdot q \end{eqnarray*}$

Oder verallgemeinert:

$\begin{eqnarray*} a_{n + m} = a_n \cdot q^m \end{eqnarray*}$

Um von a3 auf a8 zu kommen, gehst Du doch folgendermaßen vor:

a3 * q

--> ergibt a4

*q

--> ergibt a5

*q

--> ergibt a6

*q

--> ergibt a7

*q

--> ergibt a8

Ingesamt multiplizierst Du a3 fünfmal mit q, also a8 = a3 * q^5

05.11.2008, 21:02

Nachtzauber

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ich gebs auf, ich kapiers nicht..sorry.. ich muss mir das so mal erklären lassen.. ich bin mir sicher, dass das eigentlich alles gar nicht so schwer ist..

aber trotzdem danke für deine mühe

05.11.2008, 21:15

Jacques

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Hm, willst Du wirklich schon aufgeben?

Für alle n gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \end{eqnarray*}$

(so sind geometrische Folgen definiert)

Also gilt auch für alle n

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \cdot q \end{eqnarray*}$

D. h. wenn ein Glied gegeben ist, muss man es nur mit q multiplizieren, um zum Nachfolger zu kommen.

Was macht man, wenn man nicht zum nächsten, sondern zum übernächsten Glied kommen will?

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \underbrace{a_n \cdot q}_{=a_{n+1}} \cdot\, q = a_n \cdot q^2 \end{eqnarray*}$

Und wenn man noch einen Schritt weitergehen will? Dann multipliziert man a_n dreimal mit q bzw. einmal mit q^3.

u. s. w.

Und verallgemeinert: Um m Glieder weiterzukommen, multipliziert man a_n mit q^m

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