Gruppen, Untergruppen

05.11.2008, 18:48

Renato Augusto

Gruppen, Untergruppen

Für $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f_{a,b}: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} G=\{f_{a,b}|a\neq 0, b \text{beliebig}\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist. Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kommutativ?

Was ist denn in diesem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} S(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ?

Also was zu zeigen ist, ist ja:

$\begin{eqnarray*} a,b\in G \Rightarrow a\cdot b\in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\in G \Rightarrow a^{-1}\in G \end{eqnarray*}$

Mache zum ersten Mal so eine Aufgabe, kann mir ein Tipp geben wie ich anfangen soll?

Danke

05.11.2008, 21:40

kiste

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$\begin{eqnarray*} S(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist vermutlich die Symmetrische Gruppe auf R, also alle bijektiven Abbildungen.

Du musst also zeigen das $\begin{eqnarray*} f_{a,b} \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, die Komposition von 2 solchen Funktionen wieder eine solche Funktion ist und fürs Inverse eben auch..

06.11.2008, 18:19

Renato Augusto

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$\begin{eqnarray*} f_{a,b} \end{eqnarray*}$ bijektiv, denn es gilt: $\begin{eqnarray*} x=\frac{y-b}{a} \end{eqnarray*}$

Die Komposition, lautet: $\begin{eqnarray*} f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b \end{eqnarray*}$

Und das Inverse ist: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a} \end{eqnarray*}$

Habe ich das jetzt gezeigt?

06.11.2008, 18:28

chrizke

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Bei der Komposition solltest du schon unterschiedliche Elemente verwenden,
zB ax+b und cx+d

Dann musst du noch zeigen, dass das Inverse Element der Teilmenge ist. Es muss im Prinzip nicht gezeigt werden, dass es das Inverse ist, sondern nur, dass es drin liegt.

Auch muss noch ganz kurz gezeigt werden, dass die Menge nicht leer ist.
Und dein Beweis für Bijektivität ist nicht vollständig, damit zeigst du nur die Surjektivität.

06.11.2008, 18:48

Renato Augusto

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Ok ich verstehe glaube ich.
Nun stimmt die Injektivität muss ich auch noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} ax_1+b=ax_2+b\Rightarrow ax_1-ax_2=0 \Rightarrow a(x_1-x_2)=0 \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Das heißt ich soll nehmen: $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(f_{c,d}(x))=a(cx+d)+b=acx+ad+b \end{eqnarray*}$
Jetzt setze ich das Inverse in die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=a\cdot \left(\frac{y-b}{a}\right)+b=y-b+b=y \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich, dass die Menge nicht leer ist?
Setze ich für x eine Zahl ein z.B x=1 und zeige dass sie nicht leer ist: $\begin{eqnarray*} f(1)=a+b \end{eqnarray*}$

So richtig?

06.11.2008, 22:15

Renato Augusto

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Chrizke, würdest nochmal nachschauen ob ich das richtig gemacht habe?

Danke

06.11.2008, 22:31

Renato Augusto

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Sorry, kann aber nicht editieren, aber kiste, du hattest mir am anfang geholfen, vielleicht könntest du auch Mal reinschauen. Es wäre super, wenn ich heute noch erfahren könnte.

Danke nochmals und sorry für das hochpushen, werde mich demnächst anmelden damit ich editieren kann.

06.11.2008, 22:37

kiste

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Zitat:

Original von Renato Augusto
Nun stimmt die Injektivität muss ich auch noch zeigen:
$\begin{eqnarray*} ax_1+b=ax_2+b\Rightarrow ax_1-ax_2=0 \Rightarrow a(x_1-x_2)=0 \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Korrekt.

Zitat:

Das heißt ich soll nehmen: $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(f_{c,d}(x))=a(cx+d)+b=acx+ad+b \end{eqnarray*}$

Nicht vergessen zu erwähnen das jetzt natürlich auch $\begin{eqnarray*} ac\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Jetzt setze ich das Inverse in die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=a\cdot \left(\frac{y-b}{a}\right)+b=y-b+b=y \end{eqnarray*}$

Warum benutzt du etwas mit y? Die Inverse hast du doch mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \end{eqnarray*}$ angegeben.
Warum ist diese Funktion wieder in der Menge G?

Zitat:

Wie zeige ich, dass die Menge nicht leer ist?
Setze ich für x eine Zahl ein z.B x=1 und zeige dass sie nicht leer ist: $\begin{eqnarray*} f(1)=a+b \end{eqnarray*}$

So richtig?

Nein du zeigst das eine Funktion in der Menge liegt. Dies ist z.B. $\begin{eqnarray*} \mathrm{id} = (x \mapsto x) \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 22:45

Renato Augusto

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Diese Funktion ist wieder in der Menge G, weil x in der Menge G ist.

Also kann ich einfach schreiben: $\begin{eqnarray*} \id (x\mapsto x) \end{eqnarray*}$ und habe somit gezeigt dass die Menge nicht leer ist?

06.11.2008, 22:47

Renato Augusto

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Ich meine natürlich:
Diese Funktion ist wieder in der Menge G, weil x in der Menge G ist.

Also kann ich einfach schreiben: $\begin{eqnarray*} \d (x\mapsto x) \end{eqnarray*}$ und habe somit gezeigt dass die Menge nicht leer ist?

06.11.2008, 23:39

kiste

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x ist eine Variable und keine Funktion. Deswegen kann x auch nicht in G sein...

Naja mein Gott, das die Menge nicht leer ist, ist doch trivial. Wähle einfach beliebiges $\begin{eqnarray*} a\neq 0,b \end{eqnarray*}$ . Ich hab jetzt einfach a=1, b=0 gewählt

06.11.2008, 23:48

Renato Augusto

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Warum ist dann die Funktion wieder in G?
Weil die Variable x für a=1 und b=0 in der Menge ist und durch Einsetzen des Inversen x herauskommt?

07.11.2008, 00:37

kiste

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Weil das die Definition von G ist!

07.11.2008, 13:16

Renato Augusto

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Alles klar, danke dir