nicht konvergente Cauchyfolge in Q

18.08.2006, 15:58

irre.flexiv

nicht konvergente Cauchyfolge in Q

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n+1} := \frac{1}{2}\left (x_n+\frac{2}{x_n}\right ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ eine rekursive Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Ich will zeigen das $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert, komme aber nicht weit.

Der eigentliche Sinn dahinter ist zu zeigen das nicht jede Cauchyfolge konvergiert.

Hat jemand einen Tipp für mich?

18.08.2006, 16:01

JochenX

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Kannst du zeigen, dass die Folge monoton fällt? (tut sie das überhaupt die ganze Zeit?)

Dass sie nach unten beschränkt ist, ist offensichtlich (0), mit monotonem Fallen hättest du also die Konvergenz in IR gezeigt.
Für einen Grenzwert x muss $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x}) \end{eqnarray*}$ gelten, womit du dann die Wurzel 2 zeigen können solltest.

Wie gesagt, fehlend ist halt noch, DASS es konvergiert, da müsste man halt Monotonie zeigen.....

Ist das ein Ansatz, der dir weiterhilft? verwirrt

18.08.2006, 16:08

20_Cent

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wir haben das in ana1 gemacht, du musst monotonie und beschränktheit zeigen, der grenzwert ist dann klar, da a_n und a_(n+1) im grenzwert ja gleich sind.
mfg 20

edit: mensch, kommt davon, wenn man alles in tabs öffnet und dann der reihe nach guckt und nicht aktualisiert Augenzwinkern

18.08.2006, 16:12

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@irre.flexiv

Der Threadtitel ist in sich schon widersprüchlich, zumindest in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und damit auch für das vorliegende Problem. Am besten, du änderst ihn mal selbst, ja?

EDIT: Ach, Ok, du meinst "nicht in Q konvergent" - alles klar.

18.08.2006, 17:06

irre.flexiv

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Ok die Monotonie konnte ich mit vollständiger Induktion zeigen. Der Rest ist mir auch klar. Danke schonmal.

Jetzt kommts aber Big Laugh

Ich wollte die Aufgabe lösen ohne Monotonie zeigen zu müssen, denn das wurde in dem Skript
das ich gerade durcharbeite noch nicht eingeführt.

18.08.2006, 17:17

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Wenn du die hier naheliegende Methode ablehnst, hast du vielleicht konstruktive Vorschläge, was du stattdessen einsetzen willst? Du kannst naürlich $\begin{eqnarray*} x_n=\sqrt{2}+a_n \end{eqnarray*}$ ansetzen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, aber prinzipiell läuft das dann auch auf eine Monotonie von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ hinaus, also substanziell nichts anderes...

18.08.2006, 17:33

irre.flexiv

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Abgelehnt hab ich gar nichts, ich hab sogar versucht (und geschafft) die Aufgabe auf diesem Weg zu lösen.
Ich frage nur ob es möglich ist die Aufgabe auch anders zu lösen. Wenn ich mich nicht irre müsste es ja auch
Folgen geben die in R aber nicht in Q konvergieren und gleichzeitig nicht monoton sind?
Deshalb frage ich.

18.08.2006, 17:49

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Klar gibt es die, aber die hier ist nun mal monoton - das kann man ja nicht wegdiskutieren.

18.08.2006, 17:55

JochenX

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Wenn ich mich nicht irre müsste es ja auch
Folgen geben die in R aber nicht in Q konvergieren und gleichzeitig nicht monoton sind?

Klar, du kannst auch aus jeder Folge, die monoton von oben (analog unten) konvergiert eine solche Folge machen.

Hier:
Setze $\begin{eqnarray*} b_n=x_n-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als Folge der Differenzen zum Grenzwert (da x_n immer > Wurzel 2 ist habe ich die Beträge weggelassen)
Setze nun $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{2}+(-1)^n*b_n \end{eqnarray*}$

Ersetze $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ durch allgemein den Grenzwert und du hast es allgemein.

Wems Spaß macht, mir machts das, ist ja nur ne kleine sinnlose Konstruktion. smile

(anschaulich: du klappst jedes zweite Folgenglied am Grenzwert runter)

18.08.2006, 17:58

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Ok, da ist mir Jochen zuvorgekommen, ich hatte folgendes bekanntes Beispiel vorbereitet, was genau ein solches Verhalten zeigt:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = 1+\frac{1}{x_n}, x_1=1 \end{eqnarray*}$

Die ist "alternierend" monoton, d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} x_1<x_3<x_5<\ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2>x_4>x_6>\ldots \end{eqnarray*}$ . Aber Monotonie trifft man auch hier an, nämlich die von $\begin{eqnarray*} \left| x_n-x^* \right| \sea 0 \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x^*=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ .

19.08.2006, 13:23

irre.flexiv

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Ah ok danke für die Beispiele. Hab gerade was Schickes hinbekommen bzgl. meiner Frage.

Seien $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ zwei Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} =a_n^2+2b_n^2 \quad,a_1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}=2a_nb_n \quad,b_1=1 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$ mit Induktion.

Falls $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert so ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-\sqrt{2}| = \left |\frac{a_n^2+2b_n^2}{2a_nb_n}-\sqrt{2}\right|=\left |\frac{(a_n-\sqrt{2}b_n)^2}{2a_nb_n}\right | \end{eqnarray*}$

Wieder mit Induktion ist $\begin{eqnarray*} 2a_nb_n >1 \end{eqnarray*}$ . D.h.

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - \sqrt{2}| < (a_n-\sqrt{2}b_n)^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich zeige jetzt das $\begin{eqnarray*} t_n=a_n-\sqrt{2}b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

$\begin{eqnarray*} t_{n+1} = a_{n+1}-\sqrt{2}b_{n+1} = a_n^2+2b_n-2\sqrt{2}a_nb_n= (a_n-\sqrt{2}b_n)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a_{n-1}-\sqrt{2}b_{n-1})^{2^2}= \dots = (a_1-\sqrt{2}b_1)^{2^n}=(2-\sqrt{2})^{2^n} \end{eqnarray*}$

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