Funktion an Stelle 0 auswerten

18.08.2006, 23:30

Parabelflug

Funktion an Stelle 0 auswerten

Hallo,

ich hab folgendes Problem:

ich möchte gerne $\begin{eqnarray*} \dfrac{ 1 - \cos{x} }{ (\sin{x})^{2} } \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 auswerten.

Ich weiß, dass 1/2 rauskommen muss, aber wie zeige ich das bzw. wie begründe ich die folgenden Lösungsansätze?

Ich hab auch überlegt, dass über L'Hosptial zu lösen, aber das setzt doch voraus, dass $\begin{eqnarray*} (\sin{x})^{2} \end{eqnarray*}$ ungleich 0 ist !?

Eine recht einfache Lösung ergibt sich unter Ausnutzung folgender Beziehung:

$\begin{eqnarray*} 1 - ( \cos{x})^{2} = (\sin{x})^{2} \end{eqnarray*}$

Dann erhält man: $\begin{eqnarray*} \dfrac{ 1 - \cos{x} }{ 1 - ( \cos{x})^{2} } = \dfrac{ 1 - \cos{x} }{ (1 - \cos{x}) (1 + \cos{x} ) } = \dfrac{1}{ 1 + \cos{x} } \end{eqnarray*}$ . Und das ist an der Stelle x = 0 1/2.

Ich hab das ganze auch versucht über die Potenzenreihen von sin und cos zu lösen und bin auf folgendes gekommen:

(*) $\begin{eqnarray*} \dfrac{ x^{2} } { 2 \left( x^{2} + \dfrac{x^{6}}{36} - \frac{x^{4}}{3} \right) } \end{eqnarray*}$

und das ergibt, nachdem ich durch $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ geteilt habe: (**) $\begin{eqnarray*} \dfrac{ 18 }{ \left( x^{2} - 6 \right)^{2}} \end{eqnarray*}$ . Und dies ist natürlich 1/2. Wieso aber darf ich hier durch $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ teilen, und wieso kann ich (*) nicht an der Stelle 0 auswerten aber (**) doch, trotz dass (*) = (**) ?

Danke

18.08.2006, 23:45

JochenX

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Du kannst die Funktion an der Stelle 0 einfach nicht auswerten, da hier eine Definitionslücke vorliegt.
Genauerweise dürftest du das auch nicht tun, nachdem du irgendwelche "Nuller" rauskürzt (und das tust du, wenn du x^2 bzw 1-cos(x) kürzt, wenn x=0 ist)

Das einzige, was du tun kannst ist, dass du den GRENZWERT von x GEGEN 0 bestimmst, DIESER ist dann 1/2.

Das geht auf die beiden genannten Methoden (die Ersetzung von dem sin^2 finde ich am Elegantesten), es ginge aber auch mit dem Satz von de l'Hospital.

Zitat:

Ich hab auch überlegt, dass über L'Hosptial zu lösen, aber das setzt doch voraus, dass $\begin{eqnarray*} (\sin{x})^{2} \end{eqnarray*}$ ungleich 0 ist !?

Nach dieser Aussage rate ich dir aber, vor dem Anwenden des Satzes ihn noch mal anzuschauen! Insbesondere, was die Voraussetzungen dafür waren....

Hier ist er aber unnötig.

Aber beachte wie gesagt: du berechnest hier NUR den Grenzwert und der ist in allen deinen Formen gleich.

19.08.2006, 02:58

Ben Sisko

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Und mit diesem Grenzwert kann man die Funktion stetig ergänzen, d.h. eine Funktion finden, die an allen Stellen außer dieser der ursprünglichen entspricht, in dieser Stelle auch definiert und dort stetig ist.
Das ist dann aber eine andere Funktion!
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Stetig_behe...tionsl%C3%BCcke

19.08.2006, 14:05

Parabelflug

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Vielen Dank,

ihr habt mir wirlich sehr weitergeholfen.

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