Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen

19.08.2006, 12:02

Tychy

Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen

Guten Morgen,

folgende Aufgabestellung:

Von eine Produktionsfunktion f sei bekannt, dass eine Einsatzmenge von 10 [Mengeneinheiten] zu einer Ausbringsmenge von 20 [Mengeneinheiten] führt. Für einen Einsatz von 20 [Mengeneinheiten] wird die Ausbringsmenge maximal, und zwar 40 [Mengeneinheiten].
Wähle als Ansatz für f eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die durch den Ursprung verläuft, und bestimme f(x).

Ich gehe von folgender Funktion aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

Es gibt vier Variablen, also benötige ich vier Bedingungen:

1. f(10)=20
2. f(20)=40
3. f'(20)=0
4. f(0)=0

Jetzt eingesetzt:

1. 1000a + 100b + 100c = 20
2. 8000a + 400b + 20c = 40
3. 1200a + 80b + c = 0
4. d=0

Und hier komme ich nicht weiter. Was sollte ich am besten zuerst ausrechnen? Das "d" ist schon gelöst, aber es fehlen a, b und c.

Ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß geben. Danke

19.08.2006, 13:13

Krissi123

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Ohne auf die Zahlen und deren Richtigkei geachtet zu haben. Du hast jetzt ein LGS mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen. Sagen dir Verfahren wie Einsetzen, Gleichsetzen, Addition oder der Gauß-Algorithmus etwas?

mfg

krissi

19.08.2006, 13:32

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RE: Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen
hi
1,2 und 4 sind richtig.
wie auch immer du auf der 3 gekommen bist mit der ableitung... ist mir raetselhaft.

die dritte information ist im text versteckt.

code:
1: 2: 3: 4:	x y du hast einmal 10-20 max. 20-40 dann folgt 30-...

19.08.2006, 14:02

Tychy

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Zitat:

wie auch immer du auf der 3 gekommen bist mit der ableitung... ist mir raetselhaft.

Bei x=20 wird doch der maximale Wert nämlich y=40 erreicht, heißt das nicht, dass dort ein Hochpunkt vorliegt? Und hinreichende Kriterien für einen Hochpunkt an der Stelle x sind: f'(x)=0 und f''(x) < 0

Kann man denn sagen das bei x=30, y=60 sein wird?

19.08.2006, 14:12

20_Cent

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PG hat unrecht.
x=30, y=60 ist quatsch, schließlich steigt das ganze nicht linear!

Das mit der Ableitung war schon die richtige Idee.
mfG 20

19.08.2006, 14:36

Tychy

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Ich nehme die 1. Ableitung, weil sie noch die kleinsten Zahlen enthält:

$\begin{eqnarray*} 3a*20^2+2b*20+c=0 \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet ergebt sich für c:

$\begin{eqnarray*} c=-1200a-40b \end{eqnarray*}$

Das nun eingesetzt in die 1. Bedingung:

$\begin{eqnarray*} 1000a+100b+10*(-1200a-40b)=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1000a+100b-12000a-400b=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 11000a-300b=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 550a-15b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=36,7a \end{eqnarray*}$

Das b nun in die 1. Ableitung f'(20)=0 für b einsetzen

$\begin{eqnarray*} c=2668a \end{eqnarray*}$

Da ich jetzt c und b habe, setze ich die beiden in die 1. Ableitung ein:

$\begin{eqnarray*} 1200a+1468a+2668a=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200a+1468a+2668a=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch was nicht, oder?

19.08.2006, 21:59

Abakus

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Das sieht nach RF aus. In solchen Fällen hilft oft ein systematischer Ansatz mit dem Gauss-Verfahren.

Mal eine Skizze:

Grüße Abakus smile

20.08.2006, 12:12

Tychy

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Hi, also wir haben das Gauss-Verfahren noch nie benutzt bzw. gelernt. Und was versteht man denn unter RF? Ist a=0 denn überhaupt richtig?

20.08.2006, 12:26

derkoch

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Zitat:

Original von Tychy
Hi, also wir haben das Gauss-Verfahren noch nie benutzt bzw. gelernt. Und was versteht man denn unter RF? Ist a=0 denn überhaupt richtig?

nein das ist nicht richtig! ich habe etwas anderes raus!
wenn du Gauss nicht kennst, kannst du addition oder (dein bereitsausgewähltes) erinsetzungsverfahren anwenden!
bitte die schritte hinschreiben, sonst raten wir morgen noch rum wo der fehler stecken könnte!

20.08.2006, 12:30

irre.flexiv

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 11000a-300b=20 \end{eqnarray*}$

Hier ist eine Vorzeichenfehler, es ist -11000.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 550a-15b=0 \end{eqnarray*}$

Der nächste Schritt ist auch falsch, was ist mit der 20 passiert?

20.08.2006, 12:40

derkoch

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 550a-15b=0 \end{eqnarray*}$

@tychy
kleine anmerkung zu diesem fehler: wenn du 20 bonbons hast und diese dann unter 20 kindern aufteillst, wieviele bonbons bekommt dann jedes kind?

Ein bißchen "kindisch" das beispiel, aber manchmal hilft es! Big Laugh

20.08.2006, 12:55

Tychy

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So ich habe jetzt ein Ergebnis herausbekommen!

1. Schritt

Die erste Bedingung gekürzt: $\begin{eqnarray*} 100a+10b+c=2 \end{eqnarray*}$

Und die zweite gekürzt: $\begin{eqnarray*} 400a+20b+c=2 \end{eqnarray*}$

2. Schritt

1. Gleichung minus 2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} -300a-10b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-30a \end{eqnarray*}$

3. Schritt

B eingesetzt in die 3. Bedingung mit der Ableitung: $\begin{eqnarray*} 1200a-1200a+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

4. Schritt

Nun das Ergebnis von b in die 1. Bedingung eingesetzt: $\begin{eqnarray*} 100a-300a=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -200a=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=-0,01 \end{eqnarray*}$

Jetzt das a eingesetzt in die 1. Bedingung: $\begin{eqnarray*} -1+10b=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=0,3 \end{eqnarray*}$

5. Schritt

Folgende Funktion kommt damit heraus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,01x^3+0,3x^2 \end{eqnarray*}$

20.08.2006, 12:59

Tychy

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Ich habe noch das hinreichende Kriterium für den Hochpunkt bei x=20 vergessen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-0,06x+0,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(20)=-1,2+0,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(20)=-0,6 \end{eqnarray*}$

-0,6 < 0 also Hochpunkt

20.08.2006, 13:00

derkoch

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Zitat:

Original von Tychy
So ich habe jetzt ein Ergebnis herausbekommen!

1. Schritt

Die erste Bedingung gekürzt: 100a+10b+c=2

da ist schon ein "tippfehler" Augenzwinkern