Matrizen linear unabhängig?

06.11.2008, 14:46

eierkopf1

Matrizen linear unabhängig?

Hallo!

Ich habe diese Aufgabe zu lösen:

"Sind drei 2x2Matritzen (quadratisch) linear unabhängig?"

Ich habe mir jetzt erspart, die Matrizen für dieses Beispiel mit Latex zu schreiben.

Mich interessiert nur die Vorgehensweise:

Bei "normalen" Vektoren habe ich einfach ein Gleichungssystem aufgestellt:
zB
$\begin{eqnarray*} 5r + 7s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6r + 9s = 0 \end{eqnarray*}$

Und dann gelöst. Wenn für r und s Null herausgekommen ist, dann waren die beiden Vektoren linear unabhängig.

Wie mache ich es jetzt bei den drei Matrizen?

Ich könnte die Zeilen jeder Matrix als Vektor sehen. Dann hätte ich pro Matrix 2 Zeilenvektoren und insgesamt damit 6 Vektoren und damit beim Gleichungssystem 6 unbekannte Koeffizienten, aber nur 2 Gleichungen.

Also wie gehe ich das am besten an?

mfg

06.11.2008, 14:53

tigerbine

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RE: Matrizen linear unabhängig?
In welchen VR leben denn diese Matrizen? Welche Dimension hat dieser Vektorraum? Nenne mir eine einfache Basis. Augenzwinkern

Wie lautet der allgemeine Ansatz für lineare Unabhängigkeit? In Linearkombinationsschreibweise mit Vektoren (das können auch Matrizen sein, denn allgemein nennt man so ja die Elemente eines Vektorraums).

06.11.2008, 14:58

eierkopf1

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RE: Matrizen linear unabhängig?
Die Angabe ist wie oben.

Nur das noch 3 Matrizen angegeben sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5\\ -4 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allgemeineransatz:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix} + \lambda_3\begin{pmatrix} 1 & -5\\ -4 & 0\end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn alle Lambda Null sind, dann sind sie linear unabhängig.

Aber wie mache ich das nun mit den Matrizen?

mfg

06.11.2008, 15:14

tigerbine

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RE: Matrizen linear unabhängig?

Zitat:

Original von tigerbine
In welchen VR leben denn diese Matrizen? Welche Dimension hat dieser Vektorraum? Nenne mir eine einfache Basis. Augenzwinkern

Hierzu fehlt noch eine Antwort. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix} + \lambda_3\begin{pmatrix} 1 & -5\\ -4 & 0\end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Das Ansatz ist nicht ganz richtig. Es soll nicht 0 sondern der Nullvektor rauskommen.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix} + \lambda_3\begin{pmatrix} 1 & -5\\ -4 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich nun?

Zelle (1,1):

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \lambda_1 + 3 \cdot \lambda_2 + 1\cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Zelle (1,2):

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lambda_1 - 1 \cdot \lambda_2 -5 \cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

etc.

06.11.2008, 15:26

eierkopf1

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RE: Matrizen linear unabhängig?
Danke für die Antwort!

@austehende Antwort:
Sollte das in der Angabe stehen? Oder muss man es herauslesen können?

Ich kann das leider nicht unglücklich

Die Begriffe sind mir klar und auch ohne Matrizen kein Problem herauszulesen.

@unten
Stimmt, natürlich sollte der Nullvektor herauskommen... Hammer

Ich glaube, dass berechnen ist damit klar. Danke sehr Prost

mfg

06.11.2008, 15:37

tigerbine

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RE: Matrizen linear unabhängig?
Nein, dass steht nicht in der Aufgabe. Aber du solltest mal über die Frage nachdenken. Augenzwinkern

Teile uns bzgl. der Aufgabe noch dein Ergebnis mit. Wink

06.11.2008, 17:43

eierkopf1

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RE: Matrizen linear unabhängig?
OK. Ich versuchs mal: Der zugrunde liegende Körper sollten die reellen Zahlen sein.

Bei der Dimension bin ich mir nicht sicher. Die Vektoren haben 4 Komponenten. Sind wir dann im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ?

Basis wäre wahrscheinlich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme auf linear unabhängig. Richtig?

06.11.2008, 17:51

tigerbine

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RE: Matrizen linear unabhängig?
Naja der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ist schon was anderes. Wie können gerne reelle 2x2- Matrizen nehmen und IR als Skalarkörper. Augenzwinkern

Hier kannst du im Detail nachlesen worauf ich hinaus wollte. Deine Basis ist richtig. Freude