Vollständig Metrisch

20.08.2006, 17:43	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständig Metrisch $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind ja vollständig metrische Räume. In den Beweisen die ich gelesen habe wird die eugklidische Distanz als Metrik angenommen. Deshalb meine Frage: Muss dieses "vollständig" unabhängig von der gewählten Metrik gelten? Oder wird ein Raum bereits als vollständig metrisch bezeichnet wenn er das für eine Metrik ist? Oder ist dieses "vollständig" immer auf eine bestimmte Metrik bezogen? Fragen über Fragen =)
20.08.2006, 18:59	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit ist eine Eigenschaft eines metrischen Raumes, keine Eigenschaft einer Menge. R ist kein metrischer Raum und die Aussage, R sei vollständig, ist streng genommen sinnlos. Eigentlich meint man, dass der metrische Raum (R,d) vollständig ist, wobei d die euklidische Metrik ist. Man erlaubt sich hier diese sprachliche Ungenauigkeit, da d eben die absolut kanonische Metrik auf R ist und da sich die Leute ohnehin das Paar (R,d) denken, wenn sie vom metrischen Raum R lesen. Bei C oder R^n gilt das gleiche. Gruß gast1
20.08.2006, 19:33	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah das klingt einleuchtend. Danke. Ich hab noch eine Frage =) Lässt sich für IR eine Metrik finden so dass IR bzgl. dieser nicht vollständig ist?
20.08.2006, 19:56	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte auch schon darüber nachgedacht. Jemand hat mir jetzt $\begin{eqnarray} d(x,y)=\|e^x-e^y\| \end{eqnarray}$ für x,y aus R verraten und das funktioniert. Gruß gast1
20.08.2006, 19:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch mit dieser hier klappt's: $\begin{eqnarray} d(x,y):=\|\operatorname{arctan}x- \operatorname{arctan}y\| \end{eqnarray}$ . Die Folge $\begin{eqnarray} x_n=n \end{eqnarray}$ ist Cauchyfolge in $\begin{eqnarray} (\mathbb{R},d) \end{eqnarray}$ , konvergiert dort aber nicht.
20.08.2006, 20:11	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »