Münzspiel

06.11.2008, 16:22

Bier17

Münzspiel

Man macht ein Spiel mit einer Münze. Bei Kopf bekommt man einen Euro bei Zahl muss man einen Euro bezahlen.

So erstmal sind $\begin{eqnarray*} \Omega,P,A \end{eqnarray*}$ gesucht.

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{Kopf, Zahl\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=Potenzmenge(\Omega) \end{eqnarray*}$

P dadurch definieren wie es abbildet:
$\begin{eqnarray*} P(Kopf)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Zahl)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die Zufallsvariable bildet dann ab von

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{Kopf, Zahl\} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

und zwar $\begin{eqnarray*} X(Kopf)=+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X(Zahl)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_\Omega X~dP=P(Kopf)*X(Kopf)-P(Zahl)*X(Zahl)=0 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin müsste es stimmen.

Als nächstes will ich nun die Varianz ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} V(X)=E((X-E(X))^2) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} E(X)=0 \end{eqnarray*}$ gilt wird das zu:

$\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$

Was ist das?

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} X=\chi_{Kopf} - \chi_{Zahl} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} X^2=\chi_{Kopf}^2-2\chi_{Kopf}\chi_{Zahl}+\chi_{Zahl}^2 \end{eqnarray*}$

und das jetzt integrieren??

Bitte helft mir ich versteh die ganzen Begriffe noch nicht richtig.

06.11.2008, 16:55

sina21

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hab genau die gleiche aufgabe, nur soll ich berechnen wie hoch die warscheinlichkeit ist das er bankrot geht :>, wenn er mit k € anfängt.

07.11.2008, 21:42

Wissenscoder

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Hi,
als vorweg: Ich werde nun nicht den Thread beantworten, da ich selber noch so reinkommen muss, aber fangen wir vorne an:

Ich würde sagen:

A definieren wir als Ereignis: Kopf --> $\begin{eqnarray*} A:=Kopf \end{eqnarray*}$
Folglich: Das Gegenereignis: $\begin{eqnarray*} \bar A:=Zahl \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ =Wahrscheinlichkeit das Kopf geworfen wird
$\begin{eqnarray*} P(\bar A) \end{eqnarray*}$ =Wahrscheinlichkeit das Zahl geworfen wird

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ={ $\begin{eqnarray*} A,\bar A, \end{eqnarray*}$ }
was das bedeutet, was du geschrieben hast also $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ={Kopf,Zahl}

Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl bei einer fairen Münze sind dann:

$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\bar A)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

So das sind die Definitionen nochmal

Weiter muss ich auch erstmal grübeln^^

Edit:
So das mit der Definition X überspringe ich mal, dann kann ich weiterhelfen:

rechnen wir E(x) nach deiner aus: E(x)=0,5*1+0,5*(-1) [Anmerkung: Muss + und nicht minus sein oder?]
Dann wäre E(x)=0

Nun berechnen wir mal $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E(x^2)=0,5*1^2+0,5*(-1)^2 \end{eqnarray*}$
Da käme raus: $\begin{eqnarray*} E(x^2)=0,5+0,5 \end{eqnarray*}$ und das wäre 1

So nun zu V(x):
$\begin{eqnarray*} V(x)=E(x^2)-(E(x))^2 \end{eqnarray*}$
Dann wäre es:
$\begin{eqnarray*} V(x)=1-0^2 \end{eqnarray*}$ und das wäre 1

Hoffe das stimmt so und ich kann helfen. Vielleicht kontrolliert es jemand und korrigiert mich gegebenenfalls

08.11.2008, 09:54

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Ja, es stimmt. Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ kann man aber auch abkürzen:

Es ist stets $\begin{eqnarray*} X^2=1 \end{eqnarray*}$ , egal ob Kopf oder Zahl, d.h. es ist eine (vom Zufall unabhängige) Konstante. Und der Erwartungswert einer Konstante ist natürlich die Konstante selbst. Augenzwinkern

19.11.2008, 02:14

Bier17

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Nur kurz zur Überprüfung. Wenn man das Münzspiel macht und bei Kopf 1Euro bekommt und bei Zahl nichts passiert ist die Varianz 1/4.

für X(Kopf)=+1000

X(Zahl)l=+500

ist die Varianz 62500

Was kann man sich anschaulich unter der Varianz vorstellen?

20.11.2008, 13:47

Bier17

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Kann niemand das bestätigen?

20.11.2008, 20:04

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Zitat:

Original von Bier17
ist die Varianz 62500

Ja, ist richtig.

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