Äquivalenzrelation: keinen Schimmer

06.11.2008, 17:41

prinzschleifer

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Äquivalenzrelation: keinen Schimmer

Wir haben mal wieder Aufgaben bekommen, von denen keiner überhaupt ne Ahnung hat.

Auf der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei eine Relation ~ gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) ~ (x_2,y_2) : \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass ~ eine Äquvivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquialenzklasse von (-1,2).

Ende der Aufgabe.

Nunja, also um zu überprüfen, ob es sich um eine Äquivalenzklasse handelt muss ich die Relation auf Refelxivität, Transitivität und Symmetrie prüfen.

1. a ~ a
2. a ~ b <=> b ~ a
3. a ~ b und b~c <=> a ~ c

Leider fehlt mir jeglicher Ansatzpunkt. Ich hab nicht mal eine Ahnung was a ~ a in Meinem Fall bedeutet.

06.11.2008, 17:46

tigerbine

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RE: Äquivalenzrelation: keinen Schimmer
Fehlt da das ~ Zeichen?

$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_2,y_2) : \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$

Wo sind nun die Probleme? Erfüllt

$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

Denn die definierte Bedingung?

06.11.2008, 18:07

prinzschleifer

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Ja, das ~ hat gefehlt!

$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$
wäre dann
$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, ist die Bedingung für die Reflexivität überprüft.

06.11.2008, 18:14

tigerbine

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Denk nochmal drüber nach, was du in die Gleichung einsetzten musst. Es ist doch

$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$

und somit stehen die Elemente mit sich selbst in Relation. Es ist also

$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

und wir haben die Reflexivität nachgewiesen. Fertig.

Nun zur Symmetrie.

06.11.2008, 18:22

prinzschleifer

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Reflexivität bedeutet formal:

$\begin{eqnarray*} a \sim b \quad\iff\quad b \sim a \end{eqnarray*}$

Also muss ich zeigen:
$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_2,y_2) \quad\iff\quad (x_2 , y_2) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

Also wenn:
$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$
Dann auch
$\begin{eqnarray*} x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$

Dies hier wäre erfüllt wenn $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1=1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2=1 \end{eqnarray*}$ wäre. Aber wie zeige ich das allgemein?

06.11.2008, 18:25

tigerbine

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Symmetrie bedeutet formal:

$\begin{eqnarray*} a \sim b \quad\iff\quad b \sim a \end{eqnarray*}$

Also muss ich zeigen:
$\begin{eqnarray*} (x_1 , y_1) \sim (x_2,y_2) \quad\iff\quad (x_2 , y_2) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

Also wenn:
$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$
Dann auch
$\begin{eqnarray*} x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin sieht es gut aus. Nun stehen da doch Gleichungen. Und wenn die erste gilt, so doch auch wohl die zweite....

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06.11.2008, 18:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Reflexivität bedeutet formal:

$\begin{eqnarray*} a \sim b \quad\iff\quad b \sim a \end{eqnarray*}$

Sollte das nicht Symmetrie heißen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2008, 18:31

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
...
Nun zur Symmetrie.

Da hab ich den nächsten Post zu unaufmerksam gelesen. Danke Freude

Freude

06.11.2008, 18:49

prinzschleifer

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Zitat:

Original von tigerbine
Also wenn:
$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$
Dann auch
$\begin{eqnarray*} x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$

Reicht, das als Begründung? Hört sich irgendwie unmathematisch an.

Zur Transitivität:

$\begin{eqnarray*} a\sim b\ \mathrm{und}\ b\sim c\quad\Longrightarrow\quad a\sim c \end{eqnarray*}$

Wie finde ich ein c?
Einfach:
$\begin{eqnarray*} c = x_3^2 + y_3^2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ich find das alles ein bisschen zu unmathematisch.

06.11.2008, 18:52

tigerbine

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Lol, einsetzen in die Definition ist hier eben nicht spektakulärer.

Zitat:

Wie finde ich ein c?
Einfach:
$\begin{eqnarray*} c = x_3^2 + y_3^2 \end{eqnarray*}$

Ja, so findet man das. Keine Ahnung, was dir daran zu unmathematisch ist.

06.11.2008, 18:58

tigerbine

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Mehr Mathe!
Du kannst b auch so schreiben.

[quote]

Sei $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ , so gilt gemäß der Definition der Relation

$\begin{eqnarray*} x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Symmetrie der Gleichheitsrelation können wir schreiben

$\begin{eqnarray*} x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray*}$

Dies bedeutet nun, dass auch gilt:

$\begin{eqnarray*} (x_2,y_2) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

Somit ist die Relation ~ symmetrisch.

06.11.2008, 19:07

prinzschleifer

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Gut! Ich bin halt jemand der denkt, das es kompliziert sein muss, damit es richtig ist. smile

smile

Also ich überspringe mal den Sprung mit der Transitivität, da er ja eigentlich sehr trivial ist.

Nun zu den Äquivalenzklassen von (-1, 2).

Soll ich jetzt einfach schauen was passiert wenn ich (-1, 2) einsetz. Ich versteh das alles einfach noch nicht so ganz.

06.11.2008, 19:10

tigerbine

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naja, überlge halt mal, welche Elemente zu (-1,2) in Relation stehen. Was muss denn für diese nun gelten?

06.11.2008, 19:36

prinzschleifer

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also (-1,2) eingesetzt, ergibt 5.
Da gibts ja dann noch andere Päärchen die 5 ergeben. Muss ich die jetzt suchen. Zum Beispiel (1,2) wäre ja auch noch eine?

06.11.2008, 19:41

tigerbine

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Ja, such die mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das dürfte dann eine kleine Weile dauern.

Versuch dich dem ganzen mal geometrisch zu näher. Ich sehe da was rundes...

06.11.2008, 20:05

prinzschleifer

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Alle Punkte die den Radius 1 haben also
$\begin{eqnarray*} y = y^2 + x^2 \end{eqnarray*}$

?

06.11.2008, 20:09

tigerbine

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Warum 1? Un Punkte haben keinen Radius.

06.11.2008, 20:37

prinzschleifer

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Ah, ich Dümmerchen, total falsch ausgedrückt.

Also alle Punkte, die vom Koordinatenursprung den Abstand 5 haben. Ein Kreis also mit dem Radius 5 mit dem Mittelpunkt (0|0) im kartesischen Koordinatensystem.

So richtig?

06.11.2008, 20:54

tigerbine

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mmh...

Also der gute alte Pythagoras sagt ja:

$\begin{eqnarray*} x_1^2+y_1^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Vielleicht noch ein Versuch.

06.11.2008, 21:06

prinzschleifer

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Alle Punkte aus der Äquvialenzklasse haben den Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2008, 21:17

tigerbine

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Jo. Wenn du es mathematisch exakt willst, überlege warum die Lösungsmengen von

$\begin{eqnarray*} x_1^2+y_1^2=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

gleich sind. I.A. ist ja Wurzelziehen/quadrieren keine Äquivalenzumformung.

06.11.2008, 21:53

prinzschleifer

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Da ja, die Werte immer positiv sind, kann man nach belieben quadrien und wurzel ziehen.

06.11.2008, 22:07

tigerbine

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fertig.

06.11.2008, 22:12

prinzschleifer

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Und was ist jetzt mit dem Runden? Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ?

edit:

Du hast ja gemeint, es hätte was mit etwas Rundem zutun? Also ist es jetzt eine Darstellung eines Kreises oder nicht?

06.11.2008, 22:14

tigerbine

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? Was meinst du?

05.11.2011, 16:18

Barbossa

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ich verstehs auch nicht, heißt das jetzt, dass die skizze ein kreis mit dem radius 5 um den Ursprung ist?

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