Liner unabhängige Vektoren addieren

06.11.2008, 18:37

eierkopf1

Liner unabhängige Vektoren addieren

Hallo!

Folgendes Beispiel:

"Sei V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \in V \end{eqnarray*}$ . Man zeige:
$\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ~~ v_1 + v_2, ~v_2+v_3, ~v_3+v_1 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig."

Das heißt, man muss beide Richtungen zeigen.

Jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich das zeigen kann.

Wie zeige ich zb die Richtung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?

mfg

06.11.2008, 18:49

tigerbine

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
=>

Schreiben wir es mit Klammern. Voraussetzung ist:

$\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig

Nun schauen wir uns die andere Seite an. Was folgt dann für die Koeffizienten?

$\begin{eqnarray*} \alpha_1( v_1 + v_2 ) + \alpha_2(v_2+v_3) + \alpha_3(v_3+v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha_1 + \alpha_3)v_1 +(\alpha_1 + \alpha_2) v_2 + (\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ergibt 3 Forderungen, aufgrund der Voraussetzung. Was folgt somit für die alphas.

06.11.2008, 19:22

eierkopf1

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Wegen der linear Unabhängigkeit, dass die alphas Null sind?

06.11.2008, 19:31

tigerbine

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Das sollte folgen, ich hätte es aber gerne ausführlicher von dir "bewiesen" gesehen. Augenzwinkern

06.11.2008, 19:52

eierkopf1

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Meinst du so:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1( v_1 + v_2 ) + \alpha_2(v_2+v_3) + \alpha_3(v_3+v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1+\alpha_1 v_2 + \alpha_2 v_2 + \alpha_2 v_3 + \alpha_3 v_3+ \alpha_1 v_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann zusammengefasst ist es das, dass du vorher gezeigt hast.

$\begin{eqnarray*} (\alpha_1 + \alpha_3)v_1 +(\alpha_1 + \alpha_2) v_2 + (\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Da die linke Seite der Angabe lin unabhängig ist und daher die Koeffizienten Null sein müssen. Gilt dies doch auch für die Zeile oberhalb und daher sind die alphas Null.

Ist das OK?

mfg

06.11.2008, 20:08

tigerbine

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Nein, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(\alpha_1 + \alpha_3)}_{=0}v_1 +\underbrace{(\alpha_1 + \alpha_2)}_{=0} v_2 + \underbrace{(\alpha_2+\alpha_3)}_{=0}v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aus den 3 Gleichungen musst du folgern, dass auch die Alphas gleich 0 sind.

07.11.2008, 07:50

eierkopf1

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Aus dem Gleichungsystem der alphas komme ich auf alphas sind Null. Damit sind sie linear unabhängig.

Das sollte jetzt bewiesen sein, oder?

mfg

07.11.2008, 09:09

klarsoweit

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Ja, damit hast du die Richtung von links nach rechts gezeigt.

07.11.2008, 09:39

eierkopf1

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
OK.

Wie zeige ich die Gegenrichtung?

Wenn ich einfach auf der linken Seite alphas dazu gebe und die Gleichung Null setze, dann kann ich das nicht so umformen, dass ich auf die rechte Seite komme...

mfg

07.11.2008, 10:02

klarsoweit

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Das geht doch quasi analog. Du machst folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + \alpha_3 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

<==>

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdot ( v_1 + v_2 ) + (\alpha_2 - \alpha_1) \cdot v_2 + \alpha_3 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Forme analog weiter um, so daß du einen Linearausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \beta_1( v_1 + v_2 ) + \beta_2(v_2+v_3) + \beta_3(v_3+v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

erhältst.

07.11.2008, 10:22

tigerbine

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren

Zitat:

Original von eierkopf1
Aus dem Gleichungsystem der alphas komme ich auf alphas sind Null. Damit sind sie linear unabhängig.

Das sollte jetzt bewiesen sein, oder?

mfg

Schon, aber Papier ist geduldig. Ich finde es schade, dass wir die Ansätze schön aufschreiben, aber der Rest der Aufgabe bleibt unausgeführt. So ist das eigentlich nicht gedacht.

09.11.2008, 14:25

eierkopf1

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RE: Liner unabhängige Vektoren addieren
Danke für die Antworten!

So habe ich es jetzt gelöst:

-->
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1 + v_2) + \alpha_2 (v_2 + v_3) + \alpha_3 (v_3 + v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann umgeformt bis steht:
$\begin{eqnarray*} v_1(\alpha_1 + \alpha_3) + v_2 (\alpha_1 + \alpha_2) + v_3 ( \alpha_2 + \alpha_3)= 0 \end{eqnarray*}$

Dann muss man noch zeigen, dass die alphas Null sind. Also drei Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 + \alpha_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 + \alpha_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem auflösen und man sieht, dass alle alphas Null sind ;-)

<--
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \beta_3 v_3 = 0 \end{eqnarray*}$
alle betas müssen Null sein.

Setze:
$\begin{eqnarray*} \beta_1=\beta'_1 + \beta'_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_2=\beta'_2 + \beta'_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_3=\beta'_3 + \beta'_2 \end{eqnarray*}$

Dann einsetzen:
$\begin{eqnarray*} (\beta'_1 + \beta'_3) v_1 + (\beta'_2 + \beta'_1) v_2 + (\beta'_3 + \beta'_2) v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann umformen bis:
$\begin{eqnarray*} \beta'_1 (v_1 + v_2) + \beta'_2 (v_2 + v_3) + \beta'_3 (v_3 + v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

Die beta-strich sind Null und somit sind auch die anderen betas Null.

mfg

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