Lösen einer Gleichungen über den komplexen Zahlen

06.11.2008, 21:16

Absinthe

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Lösen einer Gleichungen über den komplexen Zahlen

Lösen Sie folgende Gleichungen über den komplexen Zahlen. Geben Sie jeweils Real- und Imaginärteil der Lösung an.

Hey! Sitz gut ne Stunde jetz vor den aufgaben und komm net weiter, daher würd ich die sehr gerne vor Publikum rechnen und daher auch bissl Hilfestellung erwarten!

Auf gehts:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+2i)z+9}{(3+4i)z- (9+4i)} = 8-5i \end{eqnarray*}$

also setz ich

$\begin{eqnarray*} z=x+yi \end{eqnarray*}$

daher

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+2i)(x+yi)+9}{(3+4i)(x+yi)- (9+4i)} = 8-5i \end{eqnarray*}$

nachm umformen (vielleich da ein Fehler?)

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2y+9)+i(2x+y+9)}{(3x-4y-9)+i(4x+3y-4)} = 8-5i \end{eqnarray*}$

kann ich jetz sagen das:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2y+9)}{(3x-4y-9)} = 8 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+y+9)}{(4x+3y-4)} = -5 \end{eqnarray*}$

falls ja, wie lös ich die 2 gleichungen auf?

06.11.2008, 21:37

Absinthe

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RE: Lösen einer Gleichungen über den komplexen Zahlen
kleiner Fehler is mir unterlaufen beim abtippen:

letzter ausdruck sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+y}{4x+3y-4}=-5 \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 22:05

mYthos

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Das stimmt deswegen nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{a + bi}{c+di} \neq \frac{a}{c} + \frac{b}{d} i \end{eqnarray*}$

Das heisst, der Quotient zweier komplexen Zahlen läuft nicht auf die Quotientenbildung der Real- und Imaginärteile hinaus!

mY+

Hinweis: Löse z nicht gleich in Real- und Imaginärteil auf, sondern behalte dieses bis zum Resultat.

06.11.2008, 22:27

Absinthe

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Zitat:

Original von Nubler
kannste eben nicht sagen.
das war eher als frage
warum setzte überhaupt mit z=a+bi an?

versuch mal foolgendermaßen:

lös die erste gleichung nach z auf

ist der nenner komplex, mach ihn reell (hint: 3. binomische formel)

dann klammerst du bei den termen, wo ein i steht des i aus.

was sagt uns diese zahl?

hab also mal feucht fröhlich den nenner ausmultipliziert, kommt (nach dem umformen) ganz was tolles raus.

$\begin{eqnarray*} 101=43z+15iz+13i \end{eqnarray*}$

darf ich jetz

$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$

einsetzen? verwirrt

verwirrt

06.11.2008, 22:32

mYthos

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Dürfen tust alles .. aber warum willst das unbedingt? Du kannst ja auch so nach z auflösen. Aber es geht durchaus auch mit $\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$ setzen. Wie muss man dann weiter vorgehen?

Dein Zwischenergebnis ist übrigens richtig.

mY+

06.11.2008, 22:37

Absinthe

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was würd ich den sonst noch machen können?

naja ich könnts umformen, aber das bringt mir doch nix?

$\begin{eqnarray*} \frac{101-13i}{43+15i}=z \end{eqnarray*}$

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06.11.2008, 22:40

mYthos

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.. das kannst doch noch weiter ausrechnen, sogar auf verschiedenen Wegen. Algebraisch geht das so, indem du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweiterst.

Rechne aber auch zur Probe nach deinem Weg, mit z = a + bi, es würde mich interessieren, wie du das löst.

mY+

06.11.2008, 22:58

Absinthe

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Juhu! Danke! habs Big Laugh

Big Laugh

fürs Archiv die Lösung:

$\begin{eqnarray*} z=2-i \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------
nächstes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} z^2=3-4i \end{eqnarray*}$

so ich setz mal

$\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$

weil sich ja die Gleichung sonst nicht weiter zerlegen lässt.

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2+2xyi=3-4i \end{eqnarray*}$

daher hab ich 2 gleichungen
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2xy=-4 \end{eqnarray*}$
daher ist
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{3+y^2} \end{eqnarray*}$
und
dann is
$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$

Richtig? Hammer

Hammer

--

ja sicher Richtig >.< steht ja da LOL Hammer

LOL Hammer

06.11.2008, 22:59

Absinthe

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boah -.- habs net so mit foren, Doppelpost mal wieder :>

06.11.2008, 23:12

mYthos

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Stimmt alles, sehr brav! Lehrer

Lehrer

smile

Mit a + bi rechnen hast dich doch nicht getraut, wie?

mY+

06.11.2008, 23:20

Absinthe

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Zitat:

Original von mYthos
Stimmt alles, sehr brav! Lehrer

Lehrer

smile

Mit a + bi rechnen hast dich doch nicht getraut, wie?

mY+

ich arbeite dran Big Laugh

Big Laugh

06.11.2008, 23:42

Absinthe

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nächstes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}z-3iz+\frac{1}{2}\vec{z}=7+5i \end{eqnarray*}$
setze ein
$\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 3x+5y+i(2y-x)=7+5i \end{eqnarray*}$
daher hab ich 2 Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} 3x+5y=7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y-x=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$

welcher schritt is falsch?

07.11.2008, 00:03

mYthos

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Nach dem Einsetzen von x + iy muss kommen:
...
$\begin{eqnarray*} 3x + 3iy - 3ix + 3y = 7 + 5i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$
--------------------------

$\begin{eqnarray*} 3x + 3y = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x+3y=5 \end{eqnarray*}$
--------------------------

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

07.11.2008, 00:03

Absinthe

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ausdruck vergessen bei angabe

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}z-3iz+\frac{1}{2}\vec{z}=7+5i \end{eqnarray*}$

sollte so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}z-3iz+\frac{1}{2}\vec{z}+2i\vec{z}=7+5i \end{eqnarray*}$

-----------
aber selbst mit dem Fehler in der Angabe, sollte es dann nicht
$\begin{eqnarray*} 3x+3y=7 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2y-3x=5 \end{eqnarray*}$
lauten?

07.11.2008, 00:19

mYthos

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Woher würde die 2 bei y denn kommen? Es hieß ja 3iz bei der Angabe. Und 5z/2 + z/2 = 3z
Und warum ist einmal ein Pfeil über z und einmal nicht??

07.11.2008, 00:20

Absinthe

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ah, der pfeil sollte konvergiert(z) heißen, wusste net wie ich das anders darstellen soll, bin net so der latex freak und der Formeleditor gibt auch net mehr her.

07.11.2008, 00:24

mYthos

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Is das jetzt ein Unterschied? Wer konvergiert gegen wen? Der Pfeil, wie du ihn geschrieben hast, bezeichnet einen Vektor.

Bei DER einfachen Angabe würd' ich zusammenfassen und dann lieber gleich nach z lösen:

$\begin{eqnarray*} 3z - iz = 7 + 5i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac{7+5i}{3-i} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

07.11.2008, 00:26

Absinthe

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ha, xD inzwischen ein Reihenbeispiel gmacht und voll durch einander, natürlich knojugiert(!) nicht konvergiert, tut mir leid

07.11.2008, 00:28

Absinthe

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Zitat:

Original von Absinthe
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}z-3iz+\frac{1}{2}Konvergiert(z)+2iKonvergiert(z)=7+5i \end{eqnarray*}$
setze ein
$\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 3x+5y+i(2y-x)=7+5i \end{eqnarray*}$
daher hab ich 2 Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} 3x+5y=7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y-x=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$

welcher schritt is falsch?

soweit bin ich immer noch

07.11.2008, 00:40

mYthos

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Wieder falsch geschrieben! Es heisst konjugiert komplex.

Zur Rechnung und zum Resultat:
Was hast denn, das stimmt doch eh alles! smile

smile

mY+

07.11.2008, 00:41

Absinthe

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haha, is wohl schon zu spät für sowas xD

mein Voyage 200 gibt mir aber andere werte aus, deswegen bin ich mir bissl unsicher

x=8/5
y=11/5

und auch wenn ich mein ergebnis einsetze bekomm ich 12+11i = 7+5i raus

07.11.2008, 00:46

mYthos

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Ich kann keinen Fehler entdecken; vielleicht machst du einen Bedienfehler beim TR.
Du kannst ja mit deinen und den Werten des TR die Probe machen, aber manuell (!), ohne TR.

mY+

07.11.2008, 00:55

Absinthe

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Zitat:

Original von Absinthe
und auch wenn ich mein ergebnis einsetze bekomm ich 12+11i = 7+5i raus

07.11.2008, 01:05

mYthos

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Unsinn! Wirf entweder den TR weg oder rechne richtig. Wenn du in der linken Seite für $\begin{eqnarray*} z = -1 + 2i \end{eqnarray*}$ einsetzt, so kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}(-1 + 2i) + 3i + 6 + \frac{1}{2}(-1 - 2i) - 2i + 4 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -3 + 5i + 3i +6 -i - 2i + 4 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 7 + 5i \end{eqnarray*}$

mY+

07.11.2008, 01:14

Absinthe

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ok, war wahrscheinlich ein tippfehler (habs extra dreimal durchgerechnet) Gott

Gott

Danke für alles!

vlt kannst noch hier mithelfen, dann kann ich ruhig schlafen heut :P

07.11.2008, 01:46

mYthos

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Na, dann wollen ma deinen ruhigen Schlaf nicht vermasseln ... ich wollt' eigentlich jetzt ebenso die Matratze abhorchen gehen, aber ein's geht noch, schau ma mal drüber.

mY+

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