Induktionsbeweis

06.11.2008, 22:55

imag

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Induktionsbeweis

Hallo
ich soll einen Induktionsbeweis:
Zeige: Für alle m,n E N gilt:
[latex]\sum_{v=1}^n\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n\\m+1\end{pmatrix}[latex]

Ich bin soweit:
Induktionsanfang: für k=1 gilt: [latex]\sum_{v=1}^1\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1\\m+1\end{pmatrix}=1[latex]

Induktionsannahme: für ein k E N gelte: [latex]\sum_{v=1]^k\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix}[latex]

Induktionsschritt: [latex]\$\sum_{v=1}^k+1{beginn{pmatix}m+v+1\\m\end{pmatrix}[latex]

Der Induktionsschritt muss ich ja jetzt beweisen,d.h. ich muss doch wieder auf [latex]\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix}[latex] kommen oder??
Komm da nur irgnedwie nicht drauf. Kann mir da jemand helfen, wäre echt sehr nett und würde mir sehr weiterhelfen.
Danke schon im voraus.

06.11.2008, 22:57

Duedi

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Ändere mal deinen Text so ab, dass du die abschließende

code:
1:	[latex]

-Klammer durch

code:
1:	[/latex]

ersetzst. Denn sonst wird der LaTex-Code nicht angezeigt.

06.11.2008, 23:04

imag

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durch was muss ich die ersetzen?

06.11.2008, 23:06

Duedi

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Du hast doch Code der Form

code:
1:	[latex] ..... [latex]

. Schreibe stattdessen einfach bei jeder Zeile

code:
1:	[latex] ..... [/latex]

06.11.2008, 23:06

imag

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Hallo
ich soll einen Induktionsbeweis:
Zeige: Für alle m,n E N gilt:
[latex]\sum_{v=1}^n\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n\\m+1\end{pmatrix}[\latex]

Ich bin soweit:
Induktionsanfang: für k=1 gilt: [latex]\sum_{v=1}^1\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1\\m+1\end{pmatrix}=1[\latex]

Induktionsannahme: für ein k E N gelte: [latex]\sum_{v=1]^k\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix}[l\atex]

Induktionsschritt: [latex]\$\sum_{v=1}^k+1{beginn{pmatix}m+v+1\\m\end{pmatrix}[l\atex]

Der Induktionsschritt muss ich ja jetzt beweisen,d.h. ich muss doch wieder auf [latex]\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix}[\latex] kommen oder??
Komm da nur irgnedwie nicht drauf. Kann mir da jemand helfen, wäre echt sehr nett und würde mir sehr weiterhelfen.
Danke schon im voraus.

06.11.2008, 23:07

Duedi

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Der Schrägstrich ist falsch herum^^

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06.11.2008, 23:07

imag

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irgendwie gehts trotzdem nicht.

06.11.2008, 23:11

imag

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Hallo
ich soll einen Induktionsbeweis:
Zeige: Für alle m,n E N gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin soweit:
Induktionsanfang: für k=1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^1\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1\\m+1\end{pmatrix}=1 \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: für ein k E N gelte: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^k\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^k+1\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsschritt muss ich ja jetzt beweisen,d.h. ich muss doch wieder auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommen oder??
Komm da nur irgnedwie nicht drauf. Kann mir da jemand helfen, wäre echt sehr nett und würde mir sehr weiterhelfen.
Danke schon im voraus.

06.11.2008, 23:13

Duedi

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Jetzt musst du noch dafür sorgen, das dein Quellcode fehlerfrei ist und wir können dir helfen^^

06.11.2008, 23:13

imag

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--------------------------------------------------------------------------------
Hallo
ich soll einen Induktionsbeweis:
Zeige: Für alle m,n E N gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin soweit:
Induktionsanfang: für k=1 gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^1\begin{pmatrix}m+v-1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1\\m+1\end{pmatrix}=1 \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: für ein k E N gelte: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^k\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{k+1} \begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsschritt muss ich ja jetzt beweisen,d.h. ich muss doch wieder auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommen oder??
Komm da nur irgnedwie nicht drauf. Kann mir da jemand helfen, wäre echt sehr nett und würde mir sehr weiterhelfen.
Danke schon im voraus.

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)

06.11.2008, 23:15

Duedi

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Bitte schreib doch nicht immer einen neuen Thread sondern ändere mit der EDIT-Funktion deinen Beitrag ab.

06.11.2008, 23:20

imag

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sorry kannte mich da nicht aus. jetzt hat es aber funktioniert. danke für deine hilfe.
Kann mir jetzt jemand weiterhelfen?

07.11.2008, 08:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von imag
Induktionsannahme: für ein k E N gelte: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^k\begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+k\\m+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falsch abgeschrieben. So muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n \binom{m+v-1}{m} = \binom{m+n}{m+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von imag
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{k+1} \begin{pmatrix}m+v+1\\m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unvollständig und eigentlich auch falsch (obere Grenze, Summationsterm). Es muß heißen:

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{n+1} \binom{m+v-1}{m} = \binom{m+n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Spalte auf der linken Seite den letzten Summanden ab und nutze die Induktionsannahme.

Übrigens kann man Binomialkoeffizienten in Latex kürzer mit \binom{...}{...} schreiben. smile

smile

07.11.2008, 08:45

AD

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Von einer leichten Indexverschiebung abgesehen, handelt es sich um dieselbe Aussage wie hier:

Beweis einer Summengleichung

Insofern kommt man insbesondere im Induktionsschritt mit ganz ähnlichen Umformungen zum Ziel.

07.11.2008, 10:09

imag

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Also: ich habe jetzt den letzten summanden abgespalten und meine induktionsannahme genutzt: jetzt bi n ich soweit:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n\binom{m+v+1}{m}+\binom{n+1}{m}=\binom{m+k}{m+1}+\binom{n+1}{m} \end{eqnarray*}$
wie muss ich denn jetzt weitermachen? bzw stimmt das überhaupt soweit?

07.11.2008, 10:16

klarsoweit

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Du hast wiederum - trotz entsprechender Hinweise - falsch abgeschrieben und obendrein ist der abgespaltene Summand falsch. unglücklich

unglücklich

07.11.2008, 10:35

imag

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tippfehler das k muss ein n sein!

07.11.2008, 10:36

imag

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kannst du mir vllt sagen wie der summand richtig heißen soll? da komm ich einfach nicht weiter! und das andere war ein tippfehler tut mir leid!

07.11.2008, 10:43

imag

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heißt der abgespaltene summand n+1?

07.11.2008, 10:55

imag

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kann mir bitte jemand helfen komm da nicht weiter:
bin jetzt soweit: $\begin{eqnarray*} \binom{m+n}{m+1}+(n+1) \end{eqnarray*}$
stimmt der summand den ich abgespalten habe? weiß nicht so recht wie ich das richtig machen soll!

07.11.2008, 11:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von imag
tippfehler das k muss ein n sein!

Das ist nicht der einzige Fehler. Am besten vergleichst du das,was du geschrieben, mit dem was behauptet wird. Dann korrigierst du deine Fehler und schreibst dann nochmal alles hier ordentlich hin.

Den letzten Summanden bekommst du, indem du in dem Summationsterm den Ausdruck n+1 an allen Stellen reinschreibst, wo der Laufindex v steht.

07.11.2008, 11:39

imag

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Danke für deine Hilfe. ich hab das jetzt so:
Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{n+1} \binom{m+v-1}{m}=\binom{m+n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$ ist zu beweisen!
also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n\binom{m+v-1}{m}+\binom{m+n}{m}=\binom{m+n}{m+1}+\binom{m+n}{m}=\binom{m+n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$
hoffe das passt jetzt so einigermaßen! und nochmals danke für deine geduldige hilfe!

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

07.11.2008, 11:42

klarsoweit

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Ja. So ist es.
Jetzt mußt du nur begründen, warum $\begin{eqnarray*} \binom{m+n}{m+1}+\binom{m+n}{m}=\binom{m+n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$ ist.

07.11.2008, 12:01

imag

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Das gilt doch wegen des Additionstheorem der Binomilakoeffizienten oder?

07.11.2008, 12:07

klarsoweit

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Sehr gut!

Freude

Uff, das wäre geschafft! (Schweiß von der Stirn wegwisch)

07.11.2008, 13:23

imag

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Dankeschön!!

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