Kombinatorik Aufgabe

06.11.2008, 23:29

Icega

Kombinatorik Aufgabe

Hab mal wieder ne Aufgabe un wäre super wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Lösungen soweit stimmen.

Das ist die Aufgabe:
Eine Mannschaft hat 12 Mitglieder. Der Trainer muss eine Spielaufstellung aus 7 Spielern zusammenstellen.
a) Wieviele Möglichkeiten hat er, die Spieler auszuwählen?
b) Wieviele Möglichkeiten hat er, wenn 3 der Spieler als Torwart in Frage kommen und der Rest als Feldspieler?
c) nach dem Spiel gehen sie in ein Restaurant. Es wurde ein Tisch für 8 Personen reserviert, es kommen aber nur 6. Wieviele Möglichkeiten haben sie, sich zu setzen?
d) es gibt 11 Gerichte zur Auswahl. Wieviele Möglichkeiten haben die 6 Personen ihr essen auszuwählen?
e) Wieviele verschiedene Bestellungen des Kellners in der Küche sind Möglich?

hab das bisher ma so:

a) $\begin{eqnarray*} \binom 12 7 \end{eqnarray*}$ <-- das soll 12 über 7 sein, weiß net wie ich das hier korrekt hinbekomm.

b) $\begin{eqnarray*} \binom 3 1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \binom 9 7 \end{eqnarray*}$

c) da war ich mir net sicher. Macht 8*7*6*5*4*3 Sinn?

d) $\begin{eqnarray*} 11^{6} \end{eqnarray*}$

e) keine Ahnung wo da der Unterschied zu d liegt =/

Danke schonma für eure Hilfe!
Gruß

07.11.2008, 21:29

Wissenscoder

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Hallo Icega,
dann möchte ich dir mal helfen.

n=12, k=7

Zu a:
Auswahl-Problem, ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen

Formel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier, also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe dafür die Matrix benutzt --> Code: \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}

Zu b:
1. Wieviele Möglichkeiten den Torwart auszuwählen?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Wie viele zu besetzende "Positionen" bleiben?
Antwort: 7-1=6 ( $\begin{eqnarray*} k_2=6 \end{eqnarray*}$ )

3. Wie viele Spieler sind noch da?
Antwort: 12-3=9 ( $\begin{eqnarray*} n_2=9 \end{eqnarray*}$ )

4. Wieviele Möglichkeiten gibt es für den Rest?
Formel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n_2 \\ k_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier, also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

5. Wieviele Möglichkeiten?
Formel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n_2 \\ k_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast + anstatt * benutzt, aber bedenke: Du wählst den Torwart aus und du wählst die Spieler aus, da gibt es nochmals verschiedene Kombinationen zusammen, z.B.: (Torwart1, Spieler1,Spieler2,Spieler3,Spieler4,Spieler5,Spieler6) oder aber (Torwart1, Spieler2,Spieler3,Spieler4,Spieler5,Spieler6, Spieler7) u.s.w.

Hier, also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu c:

Beispiel:

1. Platz: Spieler 1 --> 8 Möglichkeiten zu sitzen
2. Platz: Spieler 2 --> 7 Möglichkeiten zu sitzen
3. Platz: Spieler 3 --> 6 Möglichkeiten zu sitzen
4. Platz: Spieler 4 --> 5 Möglichkeiten zu sitzen
5. Platz: Spieler 5 --> 4 Möglichkeiten zu sitzen
6. Platz: Spieler 6 --> 3 Möglichkeiten zu sitzen

Also haben wir $\begin{eqnarray*} \frac{8!}{(8-6)!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, was deiner Aussage entspricht, da man es zu 8*7*6*5*4*3 kürzen kann.

Zu d:
Beispiel:
1. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
2. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
3. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
4. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
5. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
6. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen

Also habe ich 11*11*11*11*11*11 --> $\begin{eqnarray*} 11^6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten wie du bereits geschrieben hast. Warum 11*11 und nicht 11+11: Siehe b)

Zu e:
Wir haben 6 Personen. Es ist die Frage nach wie vielen verschiedenen Gerichten. Also darf kein Gericht doppelt sein.

1. Person: 11 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
2. Person: 10 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
3. Person: 9 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
4. Person: 8 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
5. Person: 7 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen
6. Person: 6 Möglichkeiten ein Gericht zu wählen

Also haben wir $\begin{eqnarray*} \frac{11!}{(11-5)!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, was man zu 11*10*9*8*7*6 kürzen kann. (siehe Aufgabe c)

Aber ich kann keine Garantie geben, wäre super, wenn das einer mal überprüfen kann.
Das war nun auch gut für mich, so habe ich für meine Klausur direkt was gelernt und gesehen, dass ich es kann, wenn es stimmt^^

Habe es extra mal ausführlich geschrieben, auch für weitere User, die ähnliche Fragen haben.

Hoffe, dass ich helfen konnte und dass es jemand auf Korrektheit überprüfen kann.

09.11.2008, 13:47

summandi

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RE: Kombinatorik Aufgabe
Hey, das ist ja interessant...
hab genau die gleiche Aufgabe zu rechnen Augenzwinkern

Zimmermann???

Für die letzte Teilaufgabe hätte ich noch eine andere Überlegung, denn der Kellner hat ja nur 6 Bestellungen abzugeben (6 Personen haben ja schon vorher aus 11 Gerichten 6 ausgewählt), d.h. 6 Bestellungen von 6 Personen.

Meine Idee:
Reihenfolge egal, mit Wiederholung, d.h.
(n+k-1) über (k), also (6+6-1) über (6), also 11 über 6, also 11! durch ((11-6)!(6)!).

Bin mir auch nicht ganz sicher, aber klingt doch logisch?!

MfG, Summandi

09.11.2008, 14:04

Wissenscoder

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Zitat:

Original von summandi
Meine Idee:
Reihenfolge egal, mit Wiederholung, d.h.
(n+k-1) über (k), also (6+6-1) über (6), also 11 über 6, also 11! durch ((11-6)!(6)!).

Ich denke ohne Wiederholung, da nach Möglichkeiten von verschiedenen Bestellungen die Frage ist, somit nach der Wagl des Gerichts n-1 weitere Möglichkeiten, sprich n!

Denke ich. Beachte hier außerdem, dass es keine Auwahl, sondern AnordnundsProblemeatik ist, also eine Permutation und keine Kombination.

So sehe ich das

10.11.2008, 18:36

Icega

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jop Zimmermann ^^

gibt's hier irgendjemanden, der den vollen Durchblick hat? Weil irgendwie hab ich nu schon drei verschiedene Lösungen zur letzten Aufgabe.
Wär super wenn da jemand helfen könnte..

mfg

11.11.2008, 07:38

Wissenscoder

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Hi,
aber ich habe Sie dir doch beantwortet. Sollte sie falsch sein?

Poste doch mal deine 3 Lösungen, dann kann man ja argumentieren, warum was falsch ist.

11.11.2008, 08:55

Icega

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also welche Lösung würdest du vorschlagen?

bisher stehen im Raum:

a) 16 über 6

b) 11! / (11-5)!

c) 11 über 6

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