Konvergenz einer Reihe (mit komplexer Zahl)

07.11.2008, 00:55

Absinthe

Konvergenz einer Reihe (mit komplexer Zahl)

Hey! Hab meine Übung fast fertig, mir fehlt nur noch dieses Beispiel

Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~\frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_n+1}{a_n}\mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_(n+1)}{a_n}\mid = \frac{i^(n+1)}{n+1}*\frac{n}{i^n} = \frac{n}{n+1}*i \end{eqnarray*}$

die Anzeige haut net so richtig hin, aber es sollte klar sein, was ich meine, denke ich

wie zeigt man jetzt das der letzte ausdruck gegen 0 konvergiert?

07.11.2008, 01:35

mYthos

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Das Quotientenkriterium sagt doch aus, dass bei Konvergenz der Quotient $\begin{eqnarray*} \left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 sein muss, aber nicht gegen Null gehen soll, wie du es formulierst!

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{i^{n+1} \cdot n}{(n+1) \cdot i^n} \right| = \left| \frac{n}{n+1} \cdot i \right| \end{eqnarray*}$

Und, welche Aussage kann nun über den Wert des Bruches (für alle n) getroffen werden?

mY+

07.11.2008, 01:47

Absinthe

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d.h. das QK funktioniert hier nicht, oder wie?

07.11.2008, 01:53

mYthos

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Na komm! Freilich funktioniert es! Es funktioniert immer, entweder zeigt es Konvergenz oder Divergenz!
Also, welchen Wert hat der absolute Betrag des Bruch für jedes n?

1.
Da es um den Betrag geht, kannst du das rein imaginäre i weglassen, dessen Betrag ist ja 1

2.
Welchen Wert hat ein Bruch, in dessen Nenner immer eine im 1 größere Zahl als im Zähler steht?

Wenn du das hast, ist die Reihe dann konvergent oder divergent?

mY+

Bitte antworte bald, ich fall' schon vom Sessel ... wir hatten was vom Schlafen gesagt (grml...)?

07.11.2008, 01:59

Absinthe

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aso, hab net gecheckt das man den rein imaginären teil einfach so weglassen kann

konvergiert (hab fast konjugiert geschrieben Big Laugh

) dann, weil ja 0 < 1

07.11.2008, 02:03

mYthos

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Ja, aber NICHT weil 0 < 1 ist, sondern der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist!
Also dann, gute Nacht und viel Glück.

Der imaginäre Teil wird eigentlich nicht direkt weggelassen, sondern sein Betrag 1 gesetzt.

mY+

07.11.2008, 02:05

Absinthe

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Danke noch mal! Warst ne große Hilfe, auch wenn dus schwer mit mir hattest.

Gute Nacht!

07.11.2008, 09:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Absinthe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~\frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$

Das sollte wohl heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{i^k}{k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos
Das Quotientenkriterium sagt doch aus, dass bei Konvergenz der Quotient $\begin{eqnarray*} \left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 sein muss

Falsch oder zumindest ungenau.
Das Quotientenkriterium besagt, daß bei Existenz eines Wertes q mit 0 < q < 1, so daß $\begin{eqnarray*} \left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q \end{eqnarray*}$ ist, die Reihe konvergiert.

Zitat:

Original von mYthos
Na komm! Freilich funktioniert es! Es funktioniert immer, entweder zeigt es Konvergenz oder Divergenz!

Es muß wirklich spät gewesen sein. unglücklich

Es gibt genügend Beispiele, wo das Quotientenkriterium nicht funktioniert, also nichts aussagt.

Ich würde die obige Reihe so umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{i^k}{k} = \sum_{k=1}^n~\frac{i^{2k-1}}{2k-1} + \sum_{k=1}^n~\frac{i^{2k}}{2k} = \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^{k-1} \cdot i}{2k-1} + \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^{k}}{2k} \end{eqnarray*}$

Beide Reihen konvergieren wegen dem Leibniz-Kriterium.

07.11.2008, 09:25

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Darüber hinaus ist der Reihenwert berechenbar: Er ist

$\begin{eqnarray*} -\ln(1-i) = -\frac{\ln(2)}{2} + \frac{\pi}{4} ~ i \end{eqnarray*}$

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