gemischte Randbedingungen

07.11.2008, 03:13

Zoss

gemischte Randbedingungen

Hallo,
ich habe mich in letzter Zeit mit Randwertproblemen auseinander gesetzt. Mit denklassischen Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen komme ich mittlerweile ganz gut zurecht. Allerdings habe ich Schwierigkeiten bei gemischten Randbedingungen (in der Literatur werden diese anscheinend auch mit Cauchy- oder Robinson-Randbedingungen bezeichnet).

Betrachten wir das Problem:
$\begin{eqnarray*} y \in C^2(0,T) \cap C^0[0,T] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben
$\begin{eqnarray*} y''=-\lambda^2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(0) + \alpha y(0) = y'(T) + \alpha y(T) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben

Dann hat y die Darstellung $\begin{eqnarray*} y(x) = A \cos(\lambda x) + B \sin(\lambda x) \end{eqnarray*}$ mit reellen Konstanten A,B.

Es ist gefordert, dass $\begin{eqnarray*} y'(0) + \alpha y(0) = - A \lambda + B \alpha = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow B= \frac{\alpha}{\lambda}A \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} y(x) = A (\cos(\lambda x) + \frac{\alpha}{\lambda} \sin(\lambda x)) \end{eqnarray*}$

Außerdem ist gefordert, dass $\begin{eqnarray*} y'(T) + \alpha y(T) =A(-\lambda \sin(\lambda T) + \alpha \cos(\lambda T) +\alpha \cos(\lambda T) + \frac{\alpha^2}{\lambda}\sin(\lambda T)) = A(-\lambda \sin(\lambda T) + 2 \alpha \cos(\lambda T) + \frac{\alpha^2}{\lambda}\sin(\lambda T)) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A((\alpha^2-\lambda^2) \sin(\lambda T) + 2 \alpha \lambda\cos(\lambda T)) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} tan(\lambda T) = \frac{2 \alpha \lambda}{\lambda^2-\alpha^2} \end{eqnarray*}$

Die triviale Lösung A=0 interessiert mich an dieser Stelle nicht. Die zweite Bedingung kann ich auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} tan(\lambda T) = \frac{2 \alpha \lambda}{\lambda^2-\alpha^2} = \frac{2 \alpha T (\lambda T)} {(\lambda T)^2 - \alpha^2 T^2} = \frac{2}{\frac{\lambda T}{\alpha T} - \frac{\alpha T}{\lambda T}} \end{eqnarray*}$
was mir allerdings nicht wirklich weiterhilft.

Ich hatte mir erhofft "schöne" (dh reelle, abzählbar viele, periodisch verteilte) Lösungen der $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu erhalten, wie das bei vergleichbaren Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen der Fall ist.
Kann mir jemand erklären warum ich die hier nicht bekomme?
Die Rechnungen stimmen aber, oder?
Vielleicht gibt es sinnvollere Umformungen der zweiten Randbedingung? Ich sehe keine...

Bitte um Kommentare.

07.11.2008, 09:00

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: gemischte Randbedingungen

Zitat:

Original von Zoss
Allerdings habe ich Schwierigkeiten bei gemischten Randbedingungen (in der Literatur werden diese anscheinend auch mit Cauchy- oder Robinson-Randbedingungen bezeichnet).

Nein, weder noch. Dieser Typ von Randbedingung heißt Robin-Randbedingung.

07.11.2008, 11:57

Zoss

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, okay... dann bin ich zumindest diesbezüglich schon mal schlauer smile

07.11.2008, 12:34

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: gemischte Randbedingungen

Zitat:

Original von Zoss
Es ist gefordert, dass $\begin{eqnarray*} y'(0) + \alpha y(0) = - A \lambda + B \alpha = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

07.11.2008, 20:54

Zoss

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ bezeichne ich in diesem Fall die Normalableitung (also für den Fall des linken Intervallrandes die Ableitung in $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ -Richtung).
dh
$\begin{eqnarray*} y'(0) = \frac{\partial y}{\partial n}(0) = \frac{\partial y}{\partial (-x)}(0) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} y'(0) + \alpha y(0) = \frac{\partial (A \cos(\lambda x) + B \sin(\lambda x))}{\partial (-x)}(0) + \alpha(A \cos(\lambda 0) + B \sin(\lambda 0)) = A \lambda \sin(0) - B \lambda \cos(0) + \alpha A = -B \lambda + \alpha A = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow B = \frac{\alpha}{\lambda}A \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis stimmt also oder sehe ich da etwas falsch?

07.11.2008, 21:56

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre doch im allgemeinen die Ableitung in Null nicht mehr stetig. Ich würde so definieren:

$\begin{eqnarray*} y'(0) = \lim_{h\downarrow 0}\frac{y(h) - y(0)}{h}. \end{eqnarray*}$

EDIT: Und auch wenn du deine Ableitung wie in deinem letzten Beitrag definierst, ist das, was ich oben zitiert habe, falsch.

08.11.2008, 03:20

Zoss

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{\partial x}(t) = \lim_{h\uparrow t}\frac{y(t) - y(h)}{h} \end{eqnarray*}$ wäre die Ableitung in x-Richtung. Diese ist stetig auf $\begin{eqnarray*} t \in (0,T] \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{\partial (-x)}(t) = \lim_{h\downarrow t}\frac{y(t) - y(h)}{h} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung in (-x)-Richtung, stetig auf $\begin{eqnarray*} t \in [0,T) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt so, oder?
Ich bin der Meinung, dass für derartige Randbedingungen nur die jeweilige Normalableitung Sinn macht.

Du hast recht. Die von dir zitierte Zeile meiner ursprüngliche Rechnung war fehlerhaft. Ich bin da selber mit den Ableitungen durcheinander gekommen.
Aber das Ergebnis müsste gestimmt haben...

Mein Problem bleibt bestehen...

Neue Frage »

Antworten »

gemischte Randbedingungen

Verwandte Themen