Fixpunkte

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venora Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkte
Hallo!
Wie sieht es mit Fixpunkten bei den folgenden Abbildungen aus?

1) (x,y)->(y,x)
2) (x,y)->(x,y^3)
3) (x,y)->(2-x,2-y)

Gruß Venora
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir mal klar, was ein Fixpunkt ist. Es wird etwas auf sich selbst abgebildet. Im ersten Fall also (x,y)=(y,x). Für welche Zahlenpaare (x,y) ist das der Fall?
 
 
venora Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt
Wenn x=y ist? Also gibt es z.B (1,1) als Fixpunkt?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, alle Punkte, bei denen x=y ist, sind Fixpunkte der ersten Abbildung. Für die anderen beiden Aufgaben gilt die gleiche Überlegung. Probiere es mal aus smile
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sry, aber ich checke das nicht mit den Fixpunkten:

x = y

d.h. für mich:

2 = 2

(x,y)->(2-x,2-y)

-> auchnoch einigermassen einleuchtend...

aber (x,y)->(x,y^3)

Entspricht hier y^3 den y?

Aber wie kann den ein höherer Wert?
(y x 3) gleich groß sein?

[wenn es überhaupt y x 3 ist, in IT-Büchern das eben "^X" eben STRG+X]

Wir hatten es in der Schule noch nicht, also entschuldigt die dämliche Frage, das was Wikipedia ausgespuckt hat war auch eher mässig... böse

Gruß, +Z+
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, bissl konfus


"y^3" steht für , lies "y hoch 3"
ein Fixpunkt muss ja auf sich selbst abgebildet werden, also muss hier sein ( gilt immer, also sind an keine Bedingungen geknüpft!), tatsächlich gibt es 3 reelle Zahlen, die die Bedingung an y erfüllen.

smile








edit: Aussehen verschönert, um Bens Beitrag (der viiiel zu spät kam, das macht das Alter, Junge!) auszustechen
nicht immer ist es von Vorteil schnell zu sein, das wirst du auch noch lernen... Ben
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

y^3 heisst .

Fixpunkte sind also solche, wo .

Und wann ist das der Fall?
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, ich bin verwirrt. Forum Kloppe

Ein Fixpunkt, ist ja kein gespiegelter Punkt, sondern in einem Koordinatensystem:

x = 2/4
y = 2/4

Also 2 "Variablen" die auf dem selben Punkt liegen?

Und bei ³ etwa 3 Punkte? Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von +ZiRCONiUM+
Ein Fixpunkt, ist ja kein gespiegelter Punkt, sondern in einem Koordinatensystem:

x = 2/4
y = 2/4

Nein, da verwechselst du was; insbesondere ist deine Belegung von x,y eine ganz andere als die obige.
Oben sind x,y die Koordinaten eines Punktes P(x/y), dieser Punkt kann abgebildet werden auf einen anderen Punkt.

z.B. f: (x,y) => (x,y^3) bildet den Punkt (2,3) aus (2,27) ab, verstehst du die Abbildung?


Ein Punkt Q heißt dann Fixpunkt, wenn er auf sich selbst abgebildet wird.
Zum beispiel ist (0/0) hier ein Fixpunkt, denn (0/0) wird auf (0/0^3)=(0/0), also auf sich selbst abgebildet.

Erst mal bei Wikipedia nachlesen, wenn du den "Fixpunkt" hier nicht ganz verstanden hast.
Ich glaube, du denkst da noch ganz falsch.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.


Okay, also x und y³ sind einfach exakt auf dem selben Punkt.

Zitat:
Zum beispiel ist (0/0) hier ein Fixpunkt, denn (0/0) wird auf (0/0^3)=(0/0), also auf sich selbst abgebildet.


Das kapiere ich jetzt.
Also immer wenn (x/y) und (x/y³) auf den selben Punkt kommen sprechen wir von einem Fixpunkt. smile

Zitat:
z.B. f: (x,y) => (x,y^3) bildet den Punkt (2,3) aus (2,27) ab, verstehst du die Abbildung?


Muss der selbe Punkt sein, wenn es gerundet wird?
Wenn ich mir vorstelle von oben auf eine Karte zu schauen, (ohne zu runden) liegt ja 2,27 anders als 2,3... unglücklich

Bzw. er bildet ihn ab ohne EXAKT auf derselben Koordinate zu liegen... verwirrt
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von +ZiRCONiUM+
Zitat:
z.B. f: (x,y) => (x,y^3) bildet den Punkt (2,3) aus (2,27) ab, verstehst du die Abbildung?


Muss der selbe Punkt sein, wenn es gerundet wird?
Wenn ich mir vorstelle von oben auf eine Karte zu schauen, (ohne zu runden) liegt ja 2,27 anders als 2,3... unglücklich


Da hast du etwas komplett falsch verstanden. (2,3) ist nicht die Kommazahl 2,3 sondern das Zahlenpaar mit x=2 und y=3. Die Abbildung bildet dieses Zahlenpaar auf ein neues Zahlenpaar (x,y³)=(2,3³)=(2,27) ab. Und da die Zahlenpaare (2,3) und (2,27) ungleich sind, ist (2,3) kein Fixpunkt.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay... ich Idiot... böse

Also ich habe sagen wir mal 2 Ebenen, diese sind transparent und liegen exakt übereinander, wenn ich nun auf beiden an der selben Stelle einen Punkt habe, ist das ein Fixpunkt...?
Ist ja praktisch eine Abbildung von Ebene 1 auf Ebene 2...

Das mit den Ebenen leite ich von Wikipedia ab mit der Landkarte und dem Punkt wo man steht...

Aber wenn immer gilt x/y = x/y³ gibt es ja extrem wenige Fixpunkte...?


(1/1) ist z.B. einer

(1/1) (1/1 x 1 x 1) = (1/1) verwirrt
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Ebenen hast du richtig verstanden.

Zitat:
Original von +ZiRCONiUM+
Aber wenn immer gilt x/y = x/y³ gibt es ja extrem wenige Fixpunkte...?


Unendlich viele würde ich nicht als extrem wenig ansehen Augenzwinkern Mal zum allgemeinen Ansatz. Du hast die Abbildung f: (x,y) -> (x,y³).

Ein Punkt (x,y) ist genau dann ein Fixpunkt, wenn die Gleichungen x=x und y=y³ gleichzeitig erfüllt sind. Zum besseren Verständnis habe ich farblich markiert, woher welches x und welches y kommt. Ich hoffe, du hast keine Rot-Grün-Sehschwäche wie ich Augenzwinkern

Edith sagt gerade, dass (1,1) natürlich ein Fixpunkt der Abbildung ist. Aber eben nur einer unter unendlich vielen Augenzwinkern
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Rot-Grün Schwäche... traurig

Aber 2cm vor den TFTs habe ichs dann auch erkannt... Wink

Bitte entschuldigt die dumme Frage... aber wieso ist ein Fixpunkt nicht wenn

x=x und y=y...
oder...

Bei (3/3) z.B:

x (3) = x (3)
y (3) = y³ (27)

Das ist ja dann kein Fixpunkt... -.-

³ ist ja immer mehr, solang es nicht 0 oder 1 ist...

Da wir es noch nie in der Schule hatten bin ich etwas konfusiert... verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier nochmal in gaaaanz einfachen Worten:

du hast eine Abbildung von "Objekt mit 2 Komponenten" zu "Objekt mit 2 Komponenten", okay?
Dabei nennen wir ein solches Objekt "fix", wenn es nicht geändert wird, wenn es also verglichen mit seinem Bildobjekt komponentenweise gleich ist.
D.h. zwei Punkte (a/b), (c/d) sind genau dann gleich, wenn a=c und b=d.


HIER berechnen wir das Bild eines Objektes (x/y) [d.h. erste Komponente ist x, zweite ist y] eben so:
die erste Komponente des Bildobjektes ist x, die zweite Komponente ist y^3.

Soweit okay?



Für einen Fixpunkt muss die erste Komponente erhalten bleiben:
Wir sehen, dass wir da keine Bedingung an die erste Komponente kriegen, denn die bleibt ja eh erhalten.
Setzen wir für x 17 ein, kommt im Bild als erste Komponente auch 17 raus, setzen wir für x 78234561247647 ein, kommt das ebenfalls raus.

Jetzt soll aber ALLES fix bleiben, also auch die ZWEITE Komponente.
Da wird eine Zahl y auf ihre dritte Potenz geschickt; damit die Komponente fix bleibt, muss also dieses Bild gleich der Ursprungszahl sein.
Das Bild ist die dritte Potenz, also muss diese dritte Potenz gleich der Zahl sein. Das gibt dann die Bedingung y^3=y an die Zahl y.


Insgesamt haben wir an einen Punkt (x/y) DIESE Bedingungen, damit er fix ist:
(a) keine an x
(b) für y muss gelten: y^3=y

ALLE Punkte deren Komponenten (x/y), die beiden Bedingungen erfüllen sind Fiypunkte und zwar sind es genau diese Punkte (nicht mehr, nicht weniger).
Also z.B. (17/1) FIXPUNKT, (48/-1) FIXPUNKT, (0/2) KEIN Fixpunkt, denn (0/2) wird abgebildet auf (0/8)



Wenn's jetzt nicht klar ist, weiß ich's auch nicht.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Tanzen

Ich glaub ich habs kapiert

Die Bedigung für Objekt 2 ist immer das x=x & y=y³ ist. (dann wäre es ein Fixpunkt)
x hat garkeine Bedingung da x und x sich ja NIE verändern können...
Also ist z.B.

(3/8) = kein Fixpunkt da es dann (3/512) wäre
(512/1) ist ein Fixpunkt (1 x 1 x 1 = 1) y=y³ (erfüllt)

Jetzt kapiere ich das auch mit "unendlich viele Fixpunkte"

das an x keine Bedingungen gestellt werden kann (x/1) x JEDE natürliche/rationale Zahl sein, ...right?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

alle Punkte der Form (x/1) sind Fixpunkte, aber es gibt sogar noch mehr (aber unendlich viele hast du hier schon).
Ebenfalls erfüllen -1 und 0 die Bedingung an y, das sind dann die einzigen.

Also sind deine Fixpunkte alle Punkte der Form (x/y), x beliebig und y entweder 0, 1 oder -1.

Schwere Geburt, wie?


Wenn du dich dafür interessierst, dann versuche doch die anderen Aufgaben noch.



edit: Leerzeichen
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkte
Zitat:
Original von venora
1) (x,y)->(y,x)
2) (x,y)->(x,y^3)
3) (x,y)->(2-x,2-y)


1.) x = 1 y = 1
y = x & y = x

wäre ein Fixpunkt.

bzw. geht nur wenn x & y den selben Wert besitzen

2.) Stand in LOEDs letzten Post

-> x= egal y= -1, 1

-> Fixpunkte

3) Geht eigentlich nur wenn x & 1 den Wert "1" besitzen..

(1/1) = (2-1/2-1) = (1/1) = (1/1)

Kann auch sein das es falsch ist, solangsam realisiere ich worum es geht...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von +ZiRCONiUM+
-> x= egal y= -1, -0,1, 0,1, 1

Jeder Computernutzer, der abwechselnd mit deutschen und englischen Ländereinstellungen arbeitet, kennt das Problem:

Englischer Sprachraum: Dezimalpunkt . und Listentrennzeichen ,
Deutschland: Dezimalpunkt , und Listentrennzeichen ;

Aber Dezimalpunkt , und Listentrennzeichen , - dann wird's unübersichtlich. unglücklich

Nur mal als Kommentar.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Großes sry, ich kenn das Problem mit "." und "," ja selber, vorallem beim Programmieren sehr nervig... böse

Ich editiere es sofort...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da stellt sich dann die Frage: Wie kommst du auf als Lösung der Gleichung ? geschockt
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin echt deppert, vergiss das 0.1 sry... Forum Kloppe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Na, da muss ich mich entschuldigen, ich habe tatsächlich das Leerzeichen an der wichtigsten Stelle vergessen, da stand wirklich "0,1" und das verführt ja direkt dazu, hier an eine Kommazahl zu denken; insbesondere, wenn man im potenzieren noch nicht erfahren ist, sonst liest man da wohl einfach drüber, weil man die richtige Antwort ja "kennt".
War hier also mit mein Fehler, wollte nicht für Verwirrung stiften, aber dass 0 UND 1 UND -1 die Bedingung y^3=y erfüllen, hast du inzwischen sicher schon nachgerechnet.
Das es nicht mehr geben kann, glaubst du uns hoffentlich auch so.


Was ich gut finde: dass du bei 3) scheinbat keine Probleme hattest, (1/1) ist tatsächlich der einzige Fixpunkt. Freude
Die Ausdrucksweise zu 1) "bzw. geht nur wenn x & y den selben Wert besitzen" ist etwas unegwöhnlich; man könnte z.B. schön sagen; die Fixpunkte sind die Punkte der Form (x/x), also mit zwei gleichen Komponenten.
Meinst aber auch hier das richtige Freude
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, das mit den 0 & 1 ist mir absolut einleuchtend! Wink

Zitat:
...man könnte z.B. schön sagen; die Fixpunkte sind die Punkte der Form (x/x), also mit zwei gleichen Komponenten.


du meinst wohl (x/y) weil (x/x) ist ja IMMER die selbe Komponente... und bei 1.) läuft es ja auf (x/y) = (y/x) raus...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, (x/y)=(y/x) gilt doch genau dann, wenn die beiden Komponenten gleich sind.

Und wenn sie gleich sind, dann kann man sie doch auch gleich bezeichnen.
Wenn dich das doppelte x verwirrt: du kannst auch "(a/a)" schreiben, dabei darf a beliebig aus der Grundmenge gewählt werden.
Das ich hier erste und zweite Komponente absichtlich gleich schreibe, sollte dir jetzt klar sein.



Umstädnliche Schreibweise:
Fixpunkte sind alle (x/y) mit x=y (x beliebig wählbar).

Elegant dann:
Fixpunkte sind alle (x/x) mit x beliebig wählbar.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, da x=y ist, sind sie ja exakt gleich und somit hat x den Wert von y, okay, das sieht natürlich schon stylischer aus...

Also das gilt auch in einer Arbeit, also mein netter Lehrer schreibt dann nicht (es muss aber noch (x/y) da stehen, aber wenn oben x=y steht, gilt ja auch (x/x)...)

Vll etwas weit hergeholt, aber wo wird den der Fixpunkt eingesetzt?
Das mit der 2 Ebenen Idee die ich hatte, ist ja sehr unrealistisch, 1. das 2 "Ebenen" zu 100% exakt übereinanderliegen und dazu noch 100% exakt an einer Stelle den selben Punkt aufweisen...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Vll etwas weit hergeholt, aber wo wird den der Fixpunkt eingesetzt?

was genau meinst du mit dieser Frage, insbesondere mit "Einsetzen"?
Wo man Fixpunkte benötigt, bzw. was man damit macht? (*)
Oder geht es hier darum, dass man ihn in eine Funktionsgleichung "einsetzt"?

Falls (*): ein anschauliches wenn auch weit hergeholtes Beispiel wäre z.B., wenn du eine Bewegung (Luftströmungen oder so) im 3D-Raum (hier haben deine Punkte dann 3 Koordinanten) betrachtest und dich fragst, welche Punkte von diesen Strömungen in Ruhe gelassen werden.
Wenn du da eine Zuordnung (x,y,z) => (...,...,...) hast, dann könntest du das damit bestimmen.
Oder wenn du z.B. Drehungen im Raum in Form einer Punktabbildung gegeben hast, dann kannst du z.B. über Berechnung des Fixpunktes das Drehzentrum bestimmen.

Und.... boah, mehr fällt mir nicht ein.
+ZiRCONiUM+ Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte ich, hört sich ja spannend an... Freude

Thx für alles. Gott
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