Bestimmung ganzrationaler Funktionen

22.08.2006, 12:01

tiamo

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Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Hallo,
könntet ihr mir Helfen die Aufgabe 4 zu lösen. Würde mich sehr über positive Antworten freuen!l

Hier die Aufgabe:

http://www.yourupload.de/images/060822/temp/98b2ya92.jpg

Meine Ansätze:
Ich habe folgende Bedingungen herausgefunden:
f(0)=0
f'(0)=0
f(10)=0
Ich komme leider nicht auf die letzte Bedingung, könnte mir jemand bitte helfen?

Mit freundlichem Gruß
tiamo

22.08.2006, 12:05

marci_

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poste mal deine ansätze...

22.08.2006, 12:22

AD

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@tiamo

Wenn man F in den Koordinatensystemursprung legt, d.h. F=(0,0), und dann folglich L=(10,0) hat, sind deine drei angeführten Bedingungen richtig.

Es fehlt aber noch eine: $\begin{eqnarray*} f(x_m)=-2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ die lokale Minimumstelle im Intervall [0,10] kennzeichnet.

22.08.2006, 12:25

marci_

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wird das dann einfach in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ ausgedrückt?
und der wendepunkt, ist der nicht von bedeutung?

22.08.2006, 13:05

rain

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in der aufgabe sind keinerlei aussagen über den wendepunkt gemacht worden,von daher nicht hilfreich.

22.08.2006, 13:28

AD

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@tiamo

Was die letzte Bedingung betrifft: Das scheint mir die wahrscheinlichste Interpretationsvariante dieser Angabe "maximale Durchbiegung 2cm" zu sein, dass also der tiefste Kurvenpunkt 2cm unter der oberen Linie FL verläuft.

Alternativ hatte ich noch kurz an sowas wie Krümmung gedacht, das aber rasch verworfen - das hätte anders formuliert werden müssen.

P.S.: Fragen bitte hier im Thread, nicht per PN.

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22.08.2006, 13:45

tiamo

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@ Arthur Dent

Nehmen wir mal an es ist so wie du es geschrieben hast, aber woher weiss ich denn auf welcher X-Achse dieser Punkt ist ?

22.08.2006, 14:06

PK

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Das Koordinatensystem legst du dir da rein, wie du's willst, nur so, wie AD es beschrieben hat, ist es sinnvoll, weil's dann sehr einfach geht.

Was meinst du mit "welche X-Achse"?

22.08.2006, 14:06

AD

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Für lokale Extremstellen differenzierbarer Funktionen gibt es bekanntlich eine notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} f'(x_m)=0 \end{eqnarray*}$

22.08.2006, 15:02

tiamo

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Ich komme leider nicht weiter.
Ich kann mit Arthur Dent's Hinweis leider nichts anfangen.
Bitte um Hilfe.

22.08.2006, 15:17

AD

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Insgesamt hast du 5 Bedingungen

$\begin{eqnarray*} f(0)=0,\quad f(10)=0,\quad f'(0)=0,\quad f(x_m)=-2,\quad f'(x_m)=0 \end{eqnarray*}$

für 5 Parameter. Diese 5 Parameter sind die Minimumstelle $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ sowie 4 Koeffizienten für die gesuchte ganzrationale Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Für dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nimmt man daher naheliegenderweise einen kubischen Ansatz, denn ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat gerade $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Koeffizienten. Nun kannst du es mit $\begin{eqnarray*} f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ versuchen, es geht aber viel schneller mit $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2(x-10) \end{eqnarray*}$ . Begründung: 0 und 10 sind Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , folglich sind $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-10) \end{eqnarray*}$ als Linearfaktoren in der ganzrationalen Funktion enthalten. Da aber auch $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss die Nullstelle 0 sogar doppelt sein.

Mit diesem Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2(x-10) \end{eqnarray*}$ sind also die ersten drei Bedingungen automatisch erfüllt, es verbleiben nur noch

$\begin{eqnarray*} f(x_m)=-2,\quad f'(x_m)=0 \end{eqnarray*}$

Zwei Gleichungen für die beiden Parameter $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ , das sollte hinzukriegen sein!

22.08.2006, 15:19

marci_

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da hat mal wieder jemand ein ganz scharfes auge Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.08.2006, 15:35

JochenX

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Hmmmm, ist das nur Zufall, dass es hier so schön aufgeht, Arthur?
Dein Beitrag klingt ja so schön nach einfacher Rechnerei, allerdings sollte es ja im Allgemeinen gar nicht so einfach sein, das dadurch auftretende nichtlineare Gleichungssystemzu lösen.

Hier erledigt es sich mit ein paar Betrachtungen zum Glück von selbst und ist sogar tatsächlich eindeutig lösbar (das verblüfft mich ehrlich gesagt, da ich nicht sehe, wo ich die an der x-Achse gespiegelte Lösung verliere....).
Ich hätte gerne zwei Lösungen für c (eine dann auszuschließen am Bild), z ist eindeutig, das ist okay.

verwirrt

verwirrt

EDIT: AUTSCH, grad gemerkt
-2 gespiegelt gibt..... jaja, haut mich, bitte.
Dass sie ganze Gleichung so schön aufgeht, wurmt mich trotzdem

22.08.2006, 15:44

AD

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Was, bitteschön heißt im Allgemeinen ? Auch auf die Tippeltappeltour $\begin{eqnarray*} f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ kommt man mit $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ , und schließlich mit $\begin{eqnarray*} f(10)=0 \end{eqnarray*}$ dann auf $\begin{eqnarray*} a_2=-10a_3 \end{eqnarray*}$ , insgesamt also $\begin{eqnarray*} f(x)=a_3x^2(x-10) \end{eqnarray*}$ . Dauert eben nur etwas länger.

Zitat:

Original von LOED
da ich nicht sehe, wo ich die an der x-Achse gespiegelte Lösung verliere....).

Verstehe ich nicht, wieso eine "gespiegelte" Lösung existieren soll.

22.08.2006, 15:52

JochenX

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Was, bitteschön heißt im Allgemeinen ?

Soll heißen: diese todesüblichen "Steckbriefaufgaben" liefern lineare Gleichungssysteme, die sind stur nach Algorithmus lösbar (je nach Anzahl der Angaben, eben ein/mehrparametrig, gar nicht oder eindeutig).
Hier liegt ja mal eine andere Art von Angabe vor, die eben zu einer nichtlinearen Gleichung führt.
Hier kommt z (öhm, das heißt bei dir xm) in der dritten Potenz multipliziert mit c als größte "Gesamtpotenz" vor. Bei nichtlinearen Gleichungen ist die eindeutige Lösbarkeit halt eher Glückssache (und eigentlich frage ich mich, ob es hier Glückssache war oder nicht).
Insbesondere hatte ich im obigen Fall auch "Lösung(en)" erhofft, mit z>10 (ich sehe aber gerade, dass kann nicht sein, das sollte man gleich sehen!!)

Ich war erstaunt, dass das hier eindeutig aufgeht und habe mich gefragt, ob "Steckbriefaufgaben" vom Typ:
Gesucht: ganzrationale Funktion (entsprechenden kleinsten Grades)
n "normale" Angaben vom Typ liefert lineare Gleichung
m Bedingungen obigen Typs
immer eindeutig zu lösen sind.

Aber das führt vielleicht etwas weit, ich möchte den Aufgabensteller nicht verwirren, habe nur laut über nichtlineare Gleichungssysteme nachgedacht.

Das mit der gespiegelten Lösung war völliges Hirngespinst, ein Teil von mir wollte das einfach nicht eindeutig haben.

(paar edits)

22.08.2006, 16:01

AD

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Ach so, das meinst du. Ja, u.U. kann da Gefahr bestehen, aber hier war ja durch $\begin{eqnarray*} f(0)=f'(0)=f(10)=0 \end{eqnarray*}$ die kubische Funktion bis auf einen Streckungsfaktior bereits klar. Und der Streckungsfaktor hat wie immer keinen Einfluss auf die Minimumstelle, also war hier keine Gefahr. Bei anderen Bedingungen, wo vielleicht nicht die Nullstellen, sondern andere Punkte gegeben sind, kann das dann durchaus kompliziert werden.

22.08.2006, 16:23

JochenX

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Okay, danke, dann lag ich nicht ganz falsch mit meiner spontanen Vermutung.
Wink

Wink

(Aber einen Einfluss auf die Minimumsstelle hat der Streckfaktor schon - er kann max und min ja vertauschen (bzw. ganz eliminieren, *0) , was hier natürlich schon deswegen scheitert, dass an der Stelle z ja niemals ein Maximum vorliegen kann, weil f(z)<0)

22.08.2006, 16:41

AD

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Da red ich mich raus, indem bei mir "Streckungsfaktoren" immer positiv sind. Sonst nenne ich sie "Streckungs- und Spiegelungsfaktoren". Big Laugh

Big Laugh

22.08.2006, 18:37

Zwerghuhn

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hi
Bitte mal ansatz für bearbeitung der 2. aufgabe verraten ist mir wichtig
danke

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