Lösungsweg für Gauss

22.08.2006, 12:56

x_Jana_x

Lösungsweg für Gauss

Also, die Matrix von Gauss ist mir ein Rätsel 3x3 o 4x4 ist egal.
ich weiss, das sie am Ende so aussehen soll:
1 0 0 |x
0 1 0 |y
0 0 1 |z

oder

1 0 0 0 |a
0 1 0 0 |b
0 0 1 0 |c
0 0 0 1 |d

ich habe ein Problem mit dem Rechenweg und komme einfach nie dahin wohin ich sollte. Ich brauche Ewigkeiten für solche Aufgaben und habe dann trozdem ich schon 5 Seiten vollgeschrieben habe immer noch kein Ergebnis, ich verzweifel noch dran.

So nun sagte mir ein Klassenkamerad, das es auch in ein paar Schritten zum Ziel geht, dann ist die Matrix am Ende zwar noch nicht wie die oben, aber das Ergebnis würde auch stimmen.

Weiß da jemand von Euch Bescheid, den Weg ohne diese eins-nuller-geschichte???

Verzweifelt auf Hilfe wartende Grüße und ein dickes Danke schonmal

22.08.2006, 13:14

JochenX

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RE: Lösungsweg für Gauss

Zitat:

Original von x_Jana_x
So nun sagte mir ein Klassenkamerad, das es auch in ein paar Schritten zum Ziel geht, dann ist die Matrix am Ende zwar noch nicht wie die oben, aber das Ergebnis würde auch stimmen.

vermutlich meint er die "kleine" Treppenform, nennen wir es mal so.
Dabei willst du nur so eine Form erreichen (was nicht immer geht, aber deine Einheitsmatrix geht auch nicht immer, Stichwort: Rang).

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & | & x \\ 0 & b_2 & b_3 & | & y \\ 0 & 0 & c_3 & | & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hat die Mtrix vollen Rang sind, die Diagonalelementen <>0.
Diese Form erreicht man natürlich einiges schneller als die volständige Treppe.

Es ist nun deine dritte Unbekannet $\begin{eqnarray*} z/c_3 \end{eqnarray*}$ , diese kannst du in alle vorderen Zeilen einsetzen.
Damit kannst du dann die zweite Unbekannte ausrechnen in der zweien Zeile, und dann mit beiden bislang berechneten die erste Unbekannte in der ersten Zeile.

Genauso für mehr Unbekannte/Zeilen.

Gauß ist allgemein Übungssache, wenn du dich noch oft verrechnest hilft vielleicht auch konzentrierte Übung.

22.08.2006, 13:23

x_Jana_x

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Dankeeee!!!

also Rang sagt mir nun mal gar nix verwirrt

aber so ähnlich könnte es sein, es sei denn es gibt noch andere Wege die nach "Rom" führen.
Ich werde mich daran versuchen.

Wir haben den Gauss schon eine ganze weile und ich werde mit ihm nicht grün, ich glaube da hilft auch üben nicht mehr (habe die Stunden aufgehört zu zählen), ich habe noch nie ein Erfolgserlebnis mit ihm gehabt *grins*, also vielleicht die einfache Variante für mich, das würde mir schon reichen, denn fürs Ergebnis gibt es ja wenigstens noch einen punkt Hammer

22.08.2006, 13:42

JochenX

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Zitat:

also Rang sagt mir nun mal gar nix

grob gesagt die Anzahl der Treppenstufen.

Als einfaches Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat als Treppenform eben NICHT die Einheitsmatrix oder sonst was.
Da verbleibt (nach einem leichten Schritt) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und Ende Gelände, du kannst hie die volle Treppe nicht herstellen, man nennt die Anzahl der Stufen (hier also 1) dann Rang der Matrix.
Eine quadratische Matrix mit n Zeilen/Spalten hat "vollen" Rang, wenn sie maximale Stufenanzahl hat, also n Treppenstufen.
Und genau dann erreichst du eine Endform mit Nichtnullern (also im Spezialfall überall 1) auf der Diagonale.

Doch Gauß kann man üben, so wie man jedes Rechenverfahren üben kann - das bedeutet nicht, dass man dadurch ein großer "Mathechecker" wird - aber man bekommt ein gewissen Gefühl und kann solche Algorithmen schneller und sicherer durchführen.

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