Gruppen, Untergruppen (2)

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Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen, Untergruppen (2)
Aufgabe: Sei die positive reele Zahl mit
Sei . Zeige:

a)
b) mit gilt genau dann, wenn , .
c) ist ein Unterkörper von .

Zu a) Angenommen, , dann gilt: .
O.B.d.A sei und teilerfremd.

Es gilt: mit

Nun gilt: mit
Widerspruch.

Ist das so in Ordnung?

b) Hier gilt es zwei Richtungen zu zeigen: Zu allererst, gehe ich davon aus dass und gilt:
. Wegen gilt

Darf ich das so machen?

Jetzt die andere Richtung:







Ich komme hier nur so weit: Kann ich jetzt aus der Erkentniss folgern, dass und ist?

Oder gehe ich die Sache ganz falsch an?

Danke für eure Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Renato Augusto
b) Hier gilt es zwei Richtungen zu zeigen: Zu allererst, gehe ich davon aus dass und gilt:
. Wegen gilt

Darf ich das so machen?

Ja, das darfst du. Du hast aber am Ende ein vergessen. Im Übrigen musst du solch eine einfache Richtung nicht so in die Länge ziehen. Die Aussage ist wirklich mal trivial. Da reicht es meiner Meinung nach hinzuschreiben:

"Ist und , so folgt natürlich ."


Zitat:
Original von Renato Augusto
Jetzt die andere Richtung:







Ich komme hier nur so weit: Kann ich jetzt aus der Erkentniss folgern, dass und ist?

Nein, darfst du natürlich nicht. Waum solltest du das dürfen?! Du hast aus deiner gegeben Aussage eine wahre Aussage gemacht. Das bringt aber nichts.

Du hast übrigens schon im ersten Schritt einen Fehler gemacht. Im Falle hast du durch Null geteilt. Ich würde die beiden Fälle (einfach) und unterscheiden. Und beim zweiten Fall solltest du dann a) benutzen.
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Angenommen


Wegen mit und mit gilt: . Widerspruch

Kann ich das so machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest auch einfach folgendes schreiben:

Wegen und erhält man einen Widerspruch.

Dabei müsstest du allerdings exakterweise noch begründen, warum gilt. Du kannst aber auch deinen Widerspruch anders konstruieren. Denn wenn ist, darfst du auch durch teilen. Dann gilt

.

Was steht links für eine Zahl, was rechts für eine? Damit bekommt man einen analogen Widerspruch.
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.

Jetzt müsste ich noch zeigen, dass ein Unterkörper von ist.

Dazu muss ich doch zunächst zeigen, dass die und drinliegt.

Kann ich das so machen?
Für folgt
und für folgt

Bin mir nicht sicher ob ich das so darf.

Nun muss ich die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition zeigen:

Oder wie muss ich das zeigen? Das ist doch irgendwie klar oder nicht, wegen der Definition von

Jetzt müsste ich noch zeigen dass abgeschlossen ist unter dem Inversen bezüglich der Addition und ich muss zeigen, dass abgeschlossen ist unter der Multiplikation, aber ich weiß nicht so recht wie ich das zeigen soll.

Und als letztes müsste ich zeigen, dass für jedes ein mit existiert.

Da bräuchte ich eure Hilfe und einen geeigneten Ansatz, denn ich gehe davon aus dass ich das falsch gemacht habe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Renato Augusto

Was soll diese Gleichung bedeuten? Die ergibt nun wirklich gar keinen Sinn, auf der linken Seite steht eine Menge und auf der rechten Seite eine Zahl.

Zitat:
Original von Renato Augusto
Das ist doch irgendwie klar oder nicht, wegen der Definition von

Das ist "irgendwie klar", ja. Aber trotzdem muss man es nochmal hinschreiben. Da Elemente von gilt, gibt es rationale Zahlen mit und . Was gilt dann für ?

Zitat:
Original von Renato Augusto
Jetzt müsste ich noch zeigen dass abgeschlossen ist unter dem Inversen bezüglich der Addition und ich muss zeigen, dass abgeschlossen ist unter der Multiplikation, aber ich weiß nicht so recht wie ich das zeigen soll.

Du musst zeigen, dass aus auch folgt. Ist , was ist denn dann ?
Und für die Multiplikation kannst du es analog zur Addition machen: Für und gilt



und das musst du nun auf die Form mit geeigneten rationalen Zahlen bekommen. Dafür, wie man von dem Produkt der Klammern am besten dahinkommt, solltest du zumindest eine Idee haben.

Zitat:
Original von Renato Augusto
Und als letztes müsste ich zeigen, dass für jedes ein mit existiert.

Das ist falsch. Du meinst hier wahrscheinlich die Abgeschlossenheit unter Inversenbildung bezüglich der Multiplikation. Sei dazu . Du musst zeigen, dass dann auch



in dieser Menge liegt, musst dies also in die Form mit rationalen Zahlen bringen.



Im Übrigen folgender Hinweis für solche Beweise, dass bestimmte Mengen Unterstrukturen einer anderen gleichartigen Struktur (in diesem Falle Körper) sind: Es gibt da ein Kriterium, das für Körper z.B. folgendes besagt. Es reicht, wenn du zeigst, dass folgendes gilt:
  1. .

  2. .


Wenn man diese drei Eigenschaften gezeigt hat, dann weiß man, dass ein Unterkörper ist. Aber so, wie du es jetzt gemacht hast, ist es von der Reihenfolge auch ok, nur könnte man halt zwei Schritte immer zu einem zusammenfassen.
 
 
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto

Was soll diese Gleichung bedeuten? Die ergibt nun wirklich gar keinen Sinn, auf der linken Seite steht eine Menge und auf der rechten Seite eine Zahl.


Muss ich da geschweifte Klammern hinmachen, oder habe ich das generell falsch gemacht?


Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
Das ist doch irgendwie klar oder nicht, wegen der Definition von

Das ist "irgendwie klar", ja. Aber trotzdem muss man es nochmal hinschreiben. Da Elemente von gilt, gibt es rationale Zahlen mit und . Was gilt dann für ?


und das ist wieder ein Element von

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
Jetzt müsste ich noch zeigen dass abgeschlossen ist unter dem Inversen bezüglich der Addition und ich muss zeigen, dass abgeschlossen ist unter der Multiplikation, aber ich weiß nicht so recht wie ich das zeigen soll.

Du musst zeigen, dass aus auch folgt. Ist , was ist denn dann ?
Und für die Multiplikation kannst du es analog zur Addition machen: Für und gilt



und das musst du nun auf die Form mit geeigneten rationalen Zahlen bekommen. Dafür, wie man von dem Produkt der Klammern am besten dahinkommt, solltest du zumindest eine Idee haben.


mit




Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
Und als letztes müsste ich zeigen, dass für jedes ein mit existiert.

Das ist falsch. Du meinst hier wahrscheinlich die Abgeschlossenheit unter Inversenbildung bezüglich der Multiplikation. Sei dazu . Du musst zeigen, dass dann auch



in dieser Menge liegt, musst dies also in die Form mit rationalen Zahlen bringen.


Hier habe ich so ein paar Schwierigkeiten und weiß nicht wie ich das auf die Form bringen kann.
Hab jetzt ca. ne Stunde überlegt und ich weiß nicht wie ich das geeignet umstellen kann.
Evtl. indem ich so erweitere?


Jetzt könnte ich argumentieren: Wegen und folgt:

Aber ich glaube das ist so nicht korrekt.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Im Übrigen folgender Hinweis für solche Beweise, dass bestimmte Mengen Unterstrukturen einer anderen gleichartigen Struktur (in diesem Falle Körper) sind: Es gibt da ein Kriterium, das für Körper z.B. folgendes besagt. Es reicht, wenn du zeigst, dass folgendes gilt:
  1. .

  2. .


Wenn man diese drei Eigenschaften gezeigt hat, dann weiß man, dass ein Unterkörper ist. Aber so, wie du es jetzt gemacht hast, ist es von der Reihenfolge auch ok, nur könnte man halt zwei Schritte immer zu einem zusammenfassen.


Wenn ich das so machen darf, werde ich das in Zukunft auch so tun.
Danke dafür.
Aber wie zeige ich denn z.B dass die liegt?
Weil meine Art es zu zeigen, war ja offensichtlich falsch.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Renato Augusto
Muss ich da geschweifte Klammern hinmachen, oder habe ich das generell falsch gemacht?

Erkläre erstmal in Worten, erstens was du zeigen musst und zweitens was du mit deiner Gleichung aussagen wolltest. Du hast ja erst und hingeschrieben, was auch der richtige Ansatz ist, aber direkt danach hast du das gar nicht mehr benutzt.
Dass übrigens deine Gleichung absolut keinen Sinn ergibt, hast du eingesehen? Weißt du auch warum? In welcher Relation können denn die Zahl und die Menge stehen?

Zitat:
Original von Renato Augusto
und das ist wieder ein Element von

[...]

mit


Ein Element von ! Du hast überall in deinem letzten Post geschrieben, aber es muss natürlich bis auf das oben überalll heißen. Ansonsten sind diese drei Sachen nun korrekt!

Zitat:
Original von Renato Augusto

Jetzt könnte ich argumentieren: Wegen und folgt:

Aber ich glaube das ist so nicht korrekt.

Das ist tatsächlich nicht korrekt. Das Problem ist, dass du bereits benutzt, dass der Bruch zweier Zahlen aus wieder in liegt. Das sollst du ja aber gerade zeigen.

Die elegante Variante ist folgende: Man erweitert den Bruch durch

.

Von hier an darfst du weiter rechnen.
Warum darf man dieses Erweitern eigentlich machen? (Kann es passieren, dass durch das Erweitern eine Null im Nenner steht?)

Wenn man darauf übrigens nicht kommt, hätte man auch folgendermaßen vorgehen können: Man muss ja zeigen, dass es rationale Zahlen gibt mit

.

Man kann nun die rechte Seite ausmultiplizieren und erhält ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen, was man dann lösen könnte. Das wäre die Holzhammermethode, aber sie führt eben auch zum Ziel.
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
Muss ich da geschweifte Klammern hinmachen, oder habe ich das generell falsch gemacht?

Erkläre erstmal in Worten, erstens was du zeigen musst und zweitens was du mit deiner Gleichung aussagen wolltest. Du hast ja erst und hingeschrieben, was auch der richtige Ansatz ist, aber direkt danach hast du das gar nicht mehr benutzt.
Dass übrigens deine Gleichung absolut keinen Sinn ergibt, hast du eingesehen? Weißt du auch warum? In welcher Relation können denn die Zahl und die Menge stehen?

Ja das ist natürlich absoluter Blödsinn, weil 1 ein Element von ist und nicht gleich der Menge ist.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
und das ist wieder ein Element von

[...]

mit


Ein Element von ! Du hast überall in deinem letzten Post geschrieben, aber es muss natürlich bis auf das oben überalll heißen. Ansonsten sind diese drei Sachen nun korrekt!

Ja das stimmt natürlich. Habe ich auch so aufgeschrieben gehabt.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto

Jetzt könnte ich argumentieren: Wegen und folgt:

Aber ich glaube das ist so nicht korrekt.

Das ist tatsächlich nicht korrekt. Das Problem ist, dass du bereits benutzt, dass der Bruch zweier Zahlen aus wieder in liegt. Das sollst du ja aber gerade zeigen.

Die elegante Variante ist folgende: Man erweitert den Bruch durch

.


.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Warum darf man dieses Erweitern eigentlich machen? (Kann es passieren, dass durch das Erweitern eine Null im Nenner steht?)


Ich glaube es zu wissen: Wenn im Nenner eine 0 durch das erweitern stehen würde, würde es bedeuten, dass folgendes gilt:

Es gilt aber: und

Ist das die Erklärung dafür?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, Eins ist ein Element dieser Menge. Damit ist das auch schon geklärt.

Zitat:
Original von Renato Augusto
.

Ok, und warum sind und rationale Zahlen? (Ich frage nur alles nach, damit du dir im Klaren bist, dass man bei solchen Aufgaben über jede Kleinigkeit nachdenken bzw. sie in Betracht ziehen muss.)

Zitat:
Original von Renato Augusto
Ich glaube es zu wissen: Wenn im Nenner eine 0 durch das erweitern stehen würde, würde es bedeuten, dass folgendes gilt:

Es gilt aber: und

Ist das die Erklärung dafür?

Ja, korrekt.
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Renato Augusto
.

Ok, und warum sind und rationale Zahlen? (Ich frage nur alles nach, damit du dir im Klaren bist, dass man bei solchen Aufgaben über jede Kleinigkeit nachdenken bzw. sie in Betracht ziehen muss.)


Gute Frage, ich würde sagen, weil ist muss auch sein verwirrt
Ich glaube das habe ich aber jetzt nicht gut beantwortet.

Also ganz ehrlich ich finde es super dass du alles nachfragst und ich muss sagen dass du einfach nur grandios erklärst und mir dabei auch noch auf den Weg gibst, dass es auch noch andere Möglichkeiten gibt die ein oder andere Sache zu zeigen.

Danke
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zeigen willst, dass eine rationale Zahl ist, dann reicht es dafür, zu zeigen, dass sowohl Zähler als auch Nenner rationale Zahlen sind. Denn die rationalen Zahlen bilden einen Körper und der ist abgeschlossen unter Multiplikation und der zugehörigen Inversenbildung. Also: Gilt ? Liegt auch in ? Wenn ja, warum?
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Da die rationalen Zahlen einen Körper bilden der abgeschlossen ist bzgl. Multiplikation und Inversenbildung, folgt aus: und aus

Richtig so?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Na es reicht, zu sagen, dass aus auch folgt, da die rationalen Zahlen einen Körper bilden. An solchen Stellen muss man es meiner Meinung nach nicht so ausführlich machen, aber ansonsten ist es richtig.

Ich denke, damit ist alles geklärt oder?
Renato Augusto Auf diesen Beitrag antworten »

Alles geklärt.

Du hast es super erklärt und ich danke dir sehr dafür.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile
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