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07.11.2008, 20:33	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformen Hab folgendes Problem, diese Ungleichung soll ich solange umformen bis ein eindeutiges ergebniss zu erkennen ist, nur fehlt mir irgendwie der Anfang? $\begin{eqnarray} 3^{n+2} \geq (n+1)^3 + 4(n+1)^2 \end{eqnarray}$ und habe jetzt umgeformt bis: $\begin{eqnarray} 3^{n+2} \geq n^3 + 7n^2 + 11n + 5 \end{eqnarray}$ aber ab hier weiß ich nicht weiter was könnte man da machen? MfG
07.11.2008, 21:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher hast du die Angabe bzw. lautet diese so im Original? Die Ungleichung ist m. Mn. algebraisch nicht lösbar. Also nur näherungsweise bzw. auch graphisch. mY+
07.11.2008, 23:30	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Original sieht so aus und soll per Voll. Induktion bewiesen werden. $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \geq n^3 + 4n^2 \end{eqnarray}$
07.11.2008, 23:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sagst du das dann nicht gleich. Ab welchem n gilt dass denn? IA: ` $\begin{eqnarray} 3^{2} \geq 1^3 + 4\cdot 1^2 \end{eqnarray}$ IB: $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \geq n^3 + 4n^2 \end{eqnarray}$ IV: Nun musst du eben mit der IB folgern, dass dann auch gilt $\begin{eqnarray} 3^{n+2} \geq (n+1)^3 + 4(n+1)^2 \end{eqnarray}$
08.11.2008, 00:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, du hast in deinem ersten Beitrag deine Frage völlig aus dem Zusammenhang genommen. Es geht also um den zweiten Teil des Induktionsbeweises. Diesen kannst du hier jedoch nicht isoliert abhandeln, sondern der Beweis muss meistens unter Berücksichtigung bzw. Einbeziehung der Induktionsvoraussetzung geführt werden. mY+
08.11.2008, 01:35	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte ich kann jetzt meine "n+1" Gleichung so umformen das ein aussagekräftiges Ergebniss rauskommt?
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08.11.2008, 10:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal ist das keine Gleichung, sondern eine Ungleichung. Man kann auch die Behauptung $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \geq n^3 + 4n^2 \end{eqnarray}$ nicht so einfach nach n umstellen (und damit direkt zeigen) wie zum Beispiel die Ungleichung 2n > n - 1 . Deswegen nimmt man ja gerade das Verfahren der vollständigen Induktion. Beim Induktionsschritt zerlegst du $\begin{eqnarray} 3^{n+2} = 3 \cdot 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ und wendest dann die Induktionsvoraussetzung an.
08.11.2008, 10:28	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wenn ich dich richtig verstanden habe dann muss das jetzt so heißen: $\begin{eqnarray} 33^{n+1} \geq 3(n^3 + 4n^2) \end{eqnarray*}$ und das muss ich umformen, richtig?
08.11.2008, 11:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Du mußt also nun zeigen, daß $\begin{eqnarray} 3 \cdot (n^3+4n^2) \geq (n+1)^3 + 4(n+1)^2 \end{eqnarray}$ ist.
08.11.2008, 13:04	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok damit ist das auch lösbar, komme am ende auf $\begin{eqnarray} n^2 \geq \frac{5}{2}n + 8 \end{eqnarray}$ und ich denke das sollte als Beweis reichen, oder?
08.11.2008, 13:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Ungleichung? Die dritten Potenzen fallen u.a. doch nicht weg ... mY+
08.11.2008, 15:18	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Klammern aufgelöst und dann bei $\begin{eqnarray} 2n^3+5n^2 \geq 11n + 5 \end{eqnarray}$ ein n ausgeklammert und durch das n geteilt, darf man das nicht? $\begin{eqnarray} 2n^2+5n^ \geq 11 + \frac{5}{n} \end{eqnarray}$
08.11.2008, 15:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon. Und dann? Dennoch kommt man so nicht auf die zuvor von dir angegebene Beziehung. mY+
08.11.2008, 15:51	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss zugeben das du damit recht hast, keine Ahnung was das war. Muss außerdem beweisen für welche n diese Ungleichung erfüllt ist Hab so weiter gemacht: $\begin{eqnarray} 2n^2+\frac{26}{5}n-11 \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2+\frac{13}{5}n-\frac{11}{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ und hab dann die pq-formel genommen. Ok soweit?
08.11.2008, 15:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Umformung (26n/5 ?) ist leider nach wie vor falsch. 5n + 5/n = ? Das ist nicht gleich (26/5)*n mY+
08.11.2008, 16:09	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte das zwar in $\begin{eqnarray} 5\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ umschreiben aber das bringt mir ja auch nix...ich werde noch verrückt an der Aufgabe
08.11.2008, 16:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung lautet doch so: $\begin{eqnarray} 2n^3 + 5n^2 -11n-5 \geq 0 \end{eqnarray}$ AB einem gewissen n ist sie immer erfüllt (Monotonie). Dass die Bereiche der 3 Nullstellen so liegen, wie im Graphen ersichtlich, kann auch mittels einer Wertetabelle verifiziert werden. mY+
08.11.2008, 20:52	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das könnte man aber wir dürfen es nicht, es so rechnerisch bewiesen werden
08.11.2008, 23:53	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes ist zu zeigen: $\begin{eqnarray} 3n^3+12n^2\geq n^3+7n^2+11n+5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n^3+12n^2=n^3+7n^2+2n^3+5n^2\geq n^3+7n^2+11n+5 \end{eqnarray}$ Und jetzt sieht man: $\begin{eqnarray} 2n^3+5n^2\geq11n+5 \end{eqnarray}$ für n>1 (n ist eine natürliche Zahl)
09.11.2008, 00:27	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt sieht man zwar das die Ungleichung erfüllt ist aber beweise ich damit das die auch ab n = 1 für alle neN gilt? Denn es ist ja zu zeigen ab welchem n die Ungleichung gilt. Wenn das so wäre dann hab ich die ganze Zeit um 3 Ecken gedacht... MfG
09.11.2008, 00:32	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest ja die letzte Ungleichung mit vollständiger Induktion beweisen und als Induktionsanfang n=2 nehmen. Sind nur paar Ideen, die mir so einfallen, also nicht gleich drauf verlassen. Mythos kommt dann eh gleich und klärt alles auf
09.11.2008, 01:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, streng genommen muss diese Ungleichung nochmals mittel vI bewiesen werden. Für n = 1 wurde aber die Behauptung schon im IA (Ind. Anfang) bewiesen, also ist das kein Thema mehr. Den nachfolgenden Beweis kann man also getrost ab n = 2 oder 3 führen, wenn man auch n = 2 geprüft hat. Es bleibt ja unbenommen, beim IA die Richtigkeit auch für mehrere einzelne Werte von n zu zeigen. mY+

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