Vollständige Induktion Erklärung |
| 22.08.2006, 20:56 | Sandy8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vollständige Induktion Erklärung habe heute mit der Vollständigen Induktion angefangen. Der Lehrer erzählte erstmal ein Beispiel von einem Biologen, Physiker und Mathematiker, wie sie drei Schafe sehen. Dann ein merkwürdiges Aufgabenbeispiel. Dann meinte er, nun wäre ja klar, was die Schwächen und Fallstricke einer normalen(unvollständigen) Induktion wäre und das die Vollständige Induktion ja diese Probleme nicht mehr hätte. Ehrlich gestanden verstehe ich nur Bahnhof. Ich kapier den Unterschied dieser beiden Beweismethoden nicht. Also, was in Gottes Namen ist der Unterschied der unvollständigen Induktion und vollständigen Induktion? Was genau sind den die Schwächen und Fallstricke der unvollständigen Induktion? Woran kann man sie erkennen? Mir ist klar, das das Prinzip der Vollständigen Induktion das umfallen der Dominosteine ist. Aber ehrlich gesagt, ich kann nix mit wirklich anfangen. Wäre echt lieb, wenn mir das jemand deutlich, mit einem Beispiel, erklären könnte. Liebe Grüße Sandy8 |
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| 22.08.2006, 21:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was bitte ist "normale (unvollständige) Induktion"? imho ist die normale Induktion eher die, die man benützt, nämlich die vollständige Also erkläre erst mal, was unv. Ind. sein soll |
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| 22.08.2006, 22:49 | Sandy8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| unvollständige Induktion Hi, naja, die unvollständige Induktion ist halt keine vollständige Induktion. Eine "normale" Induktion ist eigentlich nur eine Verallgemeinerung: Einer trägt Hüte = alle tragen Hüte. Das verstehe ich unter dem Begriff Induktion, was ja übersetzt bzw. als Synonym Verallgemeinerung bedeutet. Die unvollständige Induktion soll eine Verallgemeinerung von Einzelfällen auf eine Gesamtheit sein. Und demzufolge ja auch "falsch". Bei der vollständigen Induktion ist das eben anders, da trägt eben nicht jeder Hüte. DAS ist ja das Problem, das ich das nicht kapiere. ;-) Woran erkennt man den Unterschied? Ich denke, das das eine wichtige Grundlage ist, um das ganze dann hintennach richtig anzuwenden. Liebe Grüße Sandy8 |
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| 22.08.2006, 23:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also auch google bestätigt mir, dass der Begriff nicht sehr bekannt ist (Treffer <300 und direkt der erste Link geht nicht). Ich sehe überhaupt nicht, was dein Beispiel mit den Hüten als unvollständige Induktion (okay) mit vollständiger Induktion zu tun hat. Bislang verstehe und deute ich: Vollständige Induktion ist ein altbewährtes Beweisverfahren. Unvollständige Induktion ist einfach eine sinnlose Verallgemeinerung. Ich könnte mir die unv. Ind. noch vorstellen, als: man soll zeigen, es gilt für alle n aus IN, man rechnet es aber nur für die ersten 50 nach und sagt dann, es stimmt. Sowas kann natürlich nicht ausreichen. |
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| 22.08.2006, 23:08 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sowas ungefähr ist es wohl. Ein Sachverhalt, wo der Induktionsschritt nicht wirklich klappt. Der Begriff ist hier im Board auch schon aufgetaucht, u.a. hier. Das ist eine sehr lange und ausführliche Erklärung zur vollst. Induktion, aber Vorsicht: könnte auch sehr verwirrend sein, weil die Fragestellerin wirklich lang gebraucht hat um zu verstehen. Gruß vom Ben |
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| 23.08.2006, 10:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... zumindest in der Mathematik. In den meisten (Natur-)Wissenschaften ist das dagegen die gängige Praxis: Aus mehr oder weniger vielen Beispielen auf die Allgemeinheit schließen, bisweilen untersetzt durch Erklärungsmodelle. Bis man durch neuere Erkenntnisse vielleicht eines besseren belehrt wird. Das soll jetzt nicht so verstanden werden, dass ich darüber die Nase rümpfe - ich wüsste nicht, wie man in diesen Wissenschaften anders arbeiten sollte. |
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| 23.08.2006, 17:29 | Sandy8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Und es geht weiter: VI Basics @LOED Ja, bei Google habe ich auch nichts wirklich hilfreiches gefunden. Ist anscheinend ein selbstgestrickter Begriff.
Hmm, ja, könnte man eigentlich so nennen. @Ben Sisko Wow, der Link ist ja interessant. Gut zu wissen, das ich nicht die einzigste bin. :-) Aber auch ich bin hartnäckig. Zum Leid anderer. *g* *hüstel* Das hatte ich nicht gefunden gehabt oder war da noch nicht dran. Hmm, ist jedenfalls ziemlich verwirrend der Begriff, wenn er doch eigentlich gar keiner ist. Aber woran genau erkenne ich nun eine "echte" (vollständige) Induktion? Worauf ist da genau zu achten? Das ist mir noch nicht klar. Ich habe zwar viele Aufgaben hier gefunden, aber ich denke, wenn ich nicht mal die Basics kapiert habe, dann nützen mir die Aufgaben gar nichts. Danke für Eure Hilfe. Liebe Grüße Sandy8 |
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| 23.08.2006, 19:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Und es geht weiter: VI Basics Also was zu den Basics der volständigen Induktion: Wir haben eine Aussage A(n), deren Gültigkeit für alle n aus N behauptet wird. Die vollständige Induktion besteht nun aus drei Teilen, wobei der 3. Teil immer weggelassen wird, weil er im Prinzip immer gleich ist. 1. Teil: Der Induktionsanfang. Gezeigt wird die Gültigkeit der Aussage für n=1. Also A(1) ist wahr. 2. Teil: Hier wird gezeigt: Wenn die Aussage A für eine beliebige Zahl n wahr ist, dann ist auch die Aussage A für die nachfolgende Zahl n+1 wahr. Die Gültigkeit der Ausage A wird also in diesem Teil für ein beliebiges n vorausgesetzt. Jetzt kommt der 3. Teil, der typischerweise weggelassen wird, weil er immer gleich ist: Wir wissen aus dem 1. Teil, dass die Aussage A für n=1 gilt. Aus dem 2. Teil können wir folgern, dass die Aussage dann auch für den Nachfolger, also für n=2, gilt. Da sie nun für n=2 gilt, gilt sie auch wiederum für den Nachfolger, also für n=3. Da auf diese Weise jede natürliche Zahl erreicht wird, ist die Gültigkeit der Aussage bewiesen. Wenn das jetzt zu mathematisch war, kann man sich mit einem beliebten Bild helfen: Du hast eine Kette von unendlich vielen Dominosteinen, die alle der Reihe nach aufgestellt sind. Man weiß: wenn ein Dominostein umfällt, dann fällt auch der nächste um. Wenn dann noch der erste Dominostein umfällt, dann fallen alle Dominosteine um. Nach diesem Prinzip funkioniert die vollständige Induktion. |
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| 23.08.2006, 20:17 | Sandy8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@klarsoweit Danke, diese Erklärungen kenne ich und verstehe sie doch relativ gut. Aber trotzdem habe ich Verständnisprobleme. Eine vollständige Induktion ist logisch einwandfrei. Nur was ist daran logisch einwandfrei? Wie sieht eine falsche Induktion aus? Wie eine richtige vollständige Induktion aussieht, habe ich schon gesehen. Habe gerade folgende interessante Erklärungen gefunden: http://www.mathe-online.at/materialien/m...iles/vi/vi.html Hier gibt es zwar "Falsche Beispiele", aber raffen tue ich das noch immer nicht. http://www.open-letters.de/open-letters/...ionsbeweise.pdf http://sites.inka.de/picasso/Metzger/seite4.htm Vielleicht hilfts ja noch jemanden. Mich verwirrt auch jetzt noch die ganzen unterschiedlichen Bezeichnungen der Schritte. Heftig, dabei soll Mathematik doch Eindeutig sein. Naja, eindeutig uneindeutig! Aber irgendwie bin ich nicht wirklich schlauer geworden. Werde übermorgen meinen Lehrer nochmal Fragen, aber die Antwort heute war genauso ungenügend. Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen. Naja, bis dann. Liebe Grüße Sandy8 |
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| 23.08.2006, 23:39 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es war ja u.a. ein Beispiel im von mir angegebenen Link:
Eine vollständige Induktion hast du gesehen und weißt wie sie funktioniert. Diese "unvollständige Induktion" hier, ist eben so geartet, dass man keinen Induktionsschritt von n nach n+1 führen kann. Man nimmt ja an, dass eine Aussage für ein beliebiges n gilt und daraus folgert man die Richtigkeit der Aussage für n+1. Das geht aber in o.a. Beispiel nicht, weil man daraus, dass P(39) eine Prinzahl ist, nicht folgern kann, dass P(40) eine Primzahl ist. Diese "unvollständige Induktion" hat hier also tatsächlich alle Zahlen bis 39 eingesetzte und so könnte man ja zu der Vermutung kommen, dass die Aussage stimmt. Aber ein Beweis ist das nicht! Fazit: Unvollständige Induktion ist keine Beweismethode für alle n, sondern blosses Einsetzen und Verifizieren der Aussage für einzelne n. Und so erwischt man eben nicht alle natürlichen Zahlen, sonst wär man bis zum Sankt Nimmerleinstag mit Einsetzen beschäftigt 
Alles klar? Gruß vom Ben Edit: Um nochmal auf die Domino-Metapher zurückzukommen: Unvollständige Induktion nutzt eben nicht den Dominoeffekt, sondern man muss jeden Stein einzeln umschubsen. |
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| 23.08.2006, 23:43 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde des weiteren dafür plädieren diese erwähnte Einsetzmethode von nun an nicht mehr Induktion zu nennen, unabhängig vom Adjektiv was davor steht. Sonst verwirren wir nur noch mehr User.
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| 24.08.2006, 00:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Begriff kommt in der Regel auch nur auf, wenn ein User damit bereits malträtiert wurde
(und dann ist's gut, wenn man wenigstens weiß, was gemeint ist) Ich vermute, dass eben einige (Lehrer?) unbedingt einen sprachlichen Gegensatz zur vollständigen Induktion brauchen. In der Sache stimm ich dir aber voll zu. |
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| 24.08.2006, 18:12 | Sandy8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ich glaube ich habs, oder? Hi, wenn ich das jetzt richtig verstehe, hätte man bei diese Formel (P(n) = n^2 + n + 41) n durch n+1 ersetzen müssen und da entsprechend für n die natürlichen Zahlen eingesetzt. Richtig? Hier hat man ja direkt Zahlen genommen, statt wie bei der Vollständingen Induktion dann n durch n+1 zu ersetzt und dann wieder mit natürlichen Zahl gerechnet. Stimmts? Die Domino-Metapher verstehe ich schon, nur das logisch mathematisch umzudenken/-zusetzen, da hapert es halt. Aber ich glaube jetzt nicht mehr. Liebe Grüße Sandy8 |
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| 26.08.2006, 01:51 | Bier17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man hätte wohl so angefangen wie immer in dem man den Term so umformt, dass man die Induktionsannahme benutzen kann: So und nun wär man einfach nicht mehr weiter gekommen. Man hätte jetzt benutzen dürfen, das die erste Klammer eine Primzahl ist, was aber nichts bringt weil man daraus nicht folgern kann, dass Primzahl+(2n+2) wieder eine Primzahl ist. |
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| 27.08.2006, 13:58 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was natürlich nicht hilft, zu "zeigen", dass es keinen Induktionsschritt geben kann, denn nur weil man ihn nicht findet, heißt das noch nicht, dass es ihn nicht gibt. Da ist das Gegenbeispiel schon effektiver
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