Beweis mit vollständiger Induktion

08.11.2008, 11:27	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit vollständiger Induktion Hallo Beweisen Sie bitte mit Hilfe vollständiger Induktion, dass $\begin{eqnarray} \frac{n}{2}<\sum^{2^{n}-1}_{j=1}\frac{1}{j}<n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ gilt. Hinweis: Schätzen Sie dazu bitte $\begin{eqnarray} s_n := \sum^{2^{n}-1}_{j=1}\frac{1}{j} \end{eqnarray}$ elementar nach unten und nach oben ab. Was ist denn mit diesem Hinweis gemeint? Wie schätzt man denn elementar nach unten und nach oben ab?
08.11.2008, 11:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht wohl eher darum, die im Induktionsschritt $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ hinzukommende Teilsumme $\begin{eqnarray} s_{n+1} - s_n = \sum_{j=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{j} \end{eqnarray}$ geeignet nach unten und auch nach oben abzuschätzen. Da diese Summe genau $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Summanden umfasst, wäre die Abschätzung $\begin{eqnarray} 2^n \cdot \min\limits_{2^n \leq j < 2^{n+1}} \frac{1}{j} \leq \sum_{j=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{j} \leq 2^n \cdot \max\limits_{2^n \leq j < 2^{n+1}} \frac{1}{j} \end{eqnarray}$ naheliegend...
08.11.2008, 11:56	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das verstehe ich nicht so ganz. Also, habe jetzt mal den Induktionsanfang mit n=2 durchgeführt. Für n=2 ist die Aussage wahr. So, im Induktionsschritt habe ich erst mal folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2}<\sum^{2^{n+1}-1}_{j=1}<n+1 \end{eqnarray}$ Wie mache ich jetzt weiter? Bzw. wie baue ich jetzt deine Abschätzung da ein?
08.11.2008, 12:35	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erstmal die linke Seite der Ungleichung nehmen: $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} + \frac 1 2 < \sum^{2^{n+1}-1}_{j=1}~ \frac 1 j \end{eqnarray}$ Da kannst du ja schon mal deine Induktionsvoraussetzung einbauen.
08.11.2008, 13:40	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit vollständiger Induktion $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2}<\sum^{2^{n}-1}_{j=1}\frac{1}{j}+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ So?
08.11.2008, 14:38	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und jetzt nutze $\begin{eqnarray} \frac 1 2 < 1 = 2^n \cdot \min\limits_{2^n \leq j < 2^{n+1}} \frac{1}{j} \end{eqnarray}$
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08.11.2008, 15:51	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe nicht Wie und wo nutzen?
08.11.2008, 17:18	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann ja, das $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ nicht einfach durch diesen Term ersetzen, oder?

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