Berechnung einer Doppelsumme mit dem binomischen Lehrsatz

08.11.2008, 13:25

jester.

Berechnung einer Doppelsumme mit dem binomischen Lehrsatz

Hallo allerseits.

Ich soll folgende Doppelsumme unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\frac{1}{2^{j+k}} \end{eqnarray*}$

Laut meiner Formelsammlung lautet der binomische Lehrsatz $\begin{eqnarray*} (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings bin ich jetzt leicht überfragt, weil ich nicht weiß, wie ich den Satz mit der Doppelsumme in Verbindung bringen kann.

Kann mir jemand weiterhelfen?

08.11.2008, 14:58

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k+j}}=2^{-(k+j)}=(\frac{1}{2})^{k+j}=(\frac{1}{2})^{k-j} \cdot (\frac{1}{2})^{2j}=(\frac{1}{2})^{k-j} \cdot (\frac{1}{4})^j \end{eqnarray*}$

08.11.2008, 15:09

jester.

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Ok, das ist schonmal sehr hilfreich, aber habe ich nicht zwei verschiedene Binomialkoeffizienten?

Der aus dem binomischen Lehrsatz läuftja so zu sagen auf $\begin{eqnarray*} \binom{n}{n} \end{eqnarray*}$ hin, während der in der Doppelsumme am Ende zu $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ wird, da sich ja beide Terme im Binomialkoeffizienten verändern.

Oder habe ich hier jetzt eine völlig falsche Vorstellung?

08.11.2008, 15:18

Bjoern1982

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Ich sehe da nur einen Binomialkoeffizienten.
Wenn du meine Umformung in die Doppelsumme einsetzt kannst du die innere Summe quasi direkt durch das entsprechende a,b und n aus dem bin. Lehrsatz ersetzen und übrig bleibt dann nur noch eine geometrische Reihe.

08.11.2008, 15:34

jester.

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Ok, ich sollte vielleicht erklären, dass mir diese Doppelsumme "einfach so" ohne tiefergehende Erklärung hingeschmissen wurde. Ich studiere allerdings auch nicht Mathe sondern Maschinenbau.

Heißt das also, dass diese Summenzeichen sich nicht beide auf den Binomialkoeffizienten beziehen?

08.11.2008, 15:57

Bjoern1982

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Ich hatte auch noch nichts mit Doppelsummen zu tun, aber rein von der Logik würde ich mit dem gegebenem Hinweis eben die innere Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\frac{1}{2^{j+k}} \end{eqnarray*}$ durch den bin. Lehrsatz ersetzen und dann hast du nur noch eine Summe einer Potenz mit dem Exponenten k--> geometrische Reihe

08.11.2008, 16:54

jester.

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Ok, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}(\frac{1}{2})^{k-j}\cdot(\frac{1}{4})^{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})^{n+1}}{1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{3}(1-(\frac{1}{4})^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon ganz annehmbar aus, oder?

Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für deine Hilfe! Gott

08.11.2008, 17:15

Bjoern1982

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Joa sieht schon ganz gut aus, nur steht doch da was von a+b im bin. Lehrsatz, nicht a-b

08.11.2008, 17:25

jester.

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Joa sieht schon ganz gut aus, nur steht doch da was von a+b im bin. Lehrsatz, nicht a-b

Stimmt...

Also hätten wir:

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}(\frac{1}{2})^{k-j}\cdot(\frac{1}{4})^{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{n+1}}{1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-(\frac{3}{4})^{n+1}}{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =4(1-(\frac{3}{4})^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Richtig?

08.11.2008, 17:39

Bjoern1982

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08.11.2008, 17:42

jester.

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Vielen Dank noch mal! Mit Zunge

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