relativtopologie Topologische Mannigfaltigkeit

08.11.2008, 15:04

Jables

relativtopologie Topologische Mannigfaltigkeit

Hey ich hab wirklich große Probleme mit einem Übungszettel, der folgende Aufgabe beinhaltet:

Diskutieren sie welche der unten angegebenen Teilmengen von R^3 versehen mit der Relativtopologie topologische Mannigfaltigkeiten sind.

$\begin{eqnarray*} M_1={a \in R^3: a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2<1} \end{eqnarray*}$ ,

das stelle ich mir als eine Vollkugel vor, die offen ist. Ihr also die Oberfläche fehlt.

Hierzu kann man sagen, dass es Hausdorffsch ist, da es eine offene Teilmenge des R^3 ist. Einen Atlas kann man auch leicht finden, da ich sie mit der Identitätsabbildung auf eine OFFENE Teilmenge des R^3 abbilden kann. Diese Abbildung ist auch ein Homöomophismus, da stetig, umkehrfkt stetig und bijektiv. Also ist M_1 eine topologische Mannigfaltigkeit. Hoffe das ist soweit richtig.
Aber nun geht es erst richtig los.

$\begin{eqnarray*} M_{2}={a \in R^3:a_{1}^2+a_{2}^2-a_{3}^2=-1} \end{eqnarray*}$

Das sollte ein Kegel sein, dessen Knotenpunkt um 1 nach oben verschoben ist.

Auch hier würde ich wieder sagen, dass es Hausdorffsch ist, da es eine offene Teilmenge des R^2 ist. Aber wie kann man hier einen Atlas dazu finden? Ich muss es ja nun irgendwie schaffen die Kegeloberfläche auf den R^2 abzubilden, oder nich?

M_3 ist die positive x-Achse einschließlich des Ursprungs. Hier würd ich sagen, keine topologische Mannigfaltigkeit, da sie am Ursprung nicht offen ist. Also kann ich da keine Karte finden, sodass ich sie offen in den R^1 einbetten kann. Ebenso dürfte es nicht Hausdorffsch sein.

$\begin{eqnarray*} M_4={a \in R^3:a_{1}^2+a_{2}^2=a_{3}^2} \end{eqnarray*}$

Dies ist wieder ein Kegel, im Vergleich zu M_2 nur nicht nach oben verschoben ist. Sollte also kein Problem sein, wenn M_2 gelöst.

M_5 ist das gleiche wie M_4 nur mit der zusätzlichen Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} a_3\neq0 \end{eqnarray*}$ Also wieder der Kegel ohne Ursprung. Hier hab ich ebenso wenig ahnung wie bei dem letzten.
M_6 ist wieder ein Kegel wie M_4, nur mit der Bedungung $\begin{eqnarray*} a_3\ge0 \end{eqnarray*}$

Es wäre echt nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte, da ich mit den Aufgaben momentan nicht so recht klarkomme.

Bis später und danke schonmal im Vorraus

08.11.2008, 19:41

Mathespezialschüler

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Das erste Beispiel ist richtig.

Zitat:

Original von Jables
$\begin{eqnarray*} M_{2}={a \in R^3:a_{1}^2+a_{2}^2-a_{3}^2=-1} \end{eqnarray*}$

Das sollte ein Kegel sein, dessen Knotenpunkt um 1 nach oben verschoben ist.

Ich muss dich leider enttäuschen. Das ist ein zweischaliges Hyperboloid. Anschaulich ist dies offensichtlich eine Mannigfaltigkeit. Um dies zu zeigen, sei als Stichwort "Projektion" genannt.

Zitat:

Original von Jables
M_3 ist die positive x-Achse einschließlich des Ursprungs. Hier würd ich sagen, keine topologische Mannigfaltigkeit, da sie am Ursprung nicht offen ist. Also kann ich da keine Karte finden, sodass ich sie offen in den R^1 einbetten kann. Ebenso dürfte es nicht Hausdorffsch sein.

Jede Teilmenge eines metrischen Raums, insbesondere als des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , ist natürlich immer hausdorffsch. Deine letzte Aussage ist also falsch. Dass $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ keine Mannigfaltigkeit ist, ist aber korrekt, allerdings denke ich mal, du musst das auch beweisen und nicht nur ein anschauliches Argument geben oder?! Deine Begründung, sie sei am Ursprung nicht offen, ist übrigens sehr schlecht formuliert. Was soll diese Aussage denn bedeuten?

Zitat:

Original von Jables
$\begin{eqnarray*} M_4={a \in R^3:a_{1}^2+a_{2}^2=a_{3}^2} \end{eqnarray*}$

Dies ist wieder ein Kegel, im Vergleich zu M_2 nur nicht nach oben verschoben ist. Sollte also kein Problem sein, wenn M_2 gelöst.

Dies ist tatsächlich ein (Doppel-)Kegel. Ich vermute allerdings, dass dieser keine Mannigfaltigkeit ist. Der kritische Punkt dürfte dabei der Nullpunkt sein.

Zitat:

Original von Jables
M_5 ist das gleiche wie M_4 nur mit der zusätzlichen Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} a_3\neq0 \end{eqnarray*}$ Also wieder der Kegel ohne Ursprung. Hier hab ich ebenso wenig ahnung wie bei dem letzten.

Hier fällt der Nullpunkt raus und das wird dann mit großer Sicherheit tatsächlich eine Mannigfaltigkeit sein. Erneutes Stichwort: Projektion.

Zitat:

Original von Jables
M_6 ist wieder ein Kegel wie M_4, nur mit der Bedungung $\begin{eqnarray*} a_3\ge0 \end{eqnarray*}$

Wie könnte man diesen Kegel denn auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ abbilden? (analog zu vorherigen Vorgehensweisen)

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