Parametergleichung(en) der Ebene

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caringandkilling Auf diesen Beitrag antworten »
Parametergleichung(en) der Ebene
Hallo miteinander!
Ich wollte mal kurz anfragen ob folgende Herangehensweise korrekt ist:

Ich habe drei Punkte gegeben:


Aus diesen bastele ich mir folgende Parametergleichung für die Ebene:



Soweit, so gut. Nun möchte ich eine weitere von der obigen verschiedene Parametergleichung für die Ebene basteln und gehe wie folgt vor (der Stützvektor soll weder OA, OB oder OC sein!): ich wähle zwei beliebige Parameter für s (3) und t (4) und setze sie in meine erste Gleichung ein. Diesen Punkt nenne ich D=
Diesen verwende ich als Stützvektor. Als Spannvektoren wähle ich nun DA und DB.
Das Ganze sieht nun aus wie folgt:



Ist diese Lösung korrekt, gibt es eine Möglichkeit sie zu überprüfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal jetzt nicht nachgerechnet, aber korrekt ist diese Methode jedenfalls. Die Überprüfung kann so erfolgen, dass du nachsiehst, ob die drei Punkte A, B und C auch die untere Gleichung erfüllen oder ob sich bei beiden Parameterformen der gleiche Normalvektor (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) herausrechnen lässt.

mY+
caringandkilling Auf diesen Beitrag antworten »
...nächstes Problem.
Ich versuche seit ca. einer Stunde aus der ersten Parametergleichung,
also aus



eine Koordinatengleichung zu bauen. Dabei gehe ich wie folgt vor:

Ich stelle folgendes Gleichungssystem auf

1 + 2 * s + t = x

1 - 2 * t = y

2 + 2 * s + t = z

Wenn ich nach s und t auflöse und anschließend in eine der Gleichung einsetze geht mir die y- Komponente verloren. Ist das möglich?

Die Gleichung sieht am Ende immer so aus:

z - x - 1 = 0
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist durchaus möglich (und stimmt hier sogar auch). Das bedeutet, dass die Ebene zu einer der drei Achsen parallel ist. Zu welcher?

mY+
caringandkilling Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Ersteinmal vielen Dank für die konstruktive Hilfe Freude !
Ich denke für die Antwort brauche ich eine Weile...
caringandkilling Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Hello again,
die Komponente y fällt aus der Koordinatengleichung heraus, d.h. doch dass der Wert von y immer null ist. Folglich liegt die Ebene parallel und deckungsgleich auf der Y- Achse. Oder ist das völliger Mumpitz?
 
 
caringandkilling Auf diesen Beitrag antworten »
...und weil es so schön ist
Hallo,

die Gleichung



möchte von der Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt werden. Meine Vorgehensweise sieht aus wie folgt:

1. Ich stelle nach um:

.

2. Nun stelle ich drei Gleichungen auf:







3. Anschließend baue ich die Parametergleichung:



4. Meine abschließende Frage lautet, wie so häufig: ist das richtig, also die Vorgehensweise?

danke!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
Zitat:
Original von caringandkilling
Hello again,
die Komponente y fällt aus der Koordinatengleichung heraus, d.h. doch dass der Wert von y immer null ist. Folglich liegt die Ebene parallel und deckungsgleich auf der Y- Achse. Oder ist das völliger Mumpitz?


Mumpitz schon, aber nicht völliger Big Laugh . y ist NICHT immer Null, sondern kann jeden beliebigen Wert annehmen, denn nur sein Koeffizient ist Null. Also ist die Ebene parallel zur y-Achse, geht aber nicht durch den Nullpunkt, weil noch die Konstante -1 in der Gleichung ist.
___________________

Zum anderen:
Ein etwas ungewöhnlicher, aber interessanter und listiger Weg und es stimmt auch alles! smile Den ersten Richtungsvektor könntest du noch zu (2; 3; 0) erweitern.

mY+
fragende Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
Wink

ich hab da ne blöde frage - wahrscheinlich sitz ich auf der leitung:
Zitat:
2. Nun stelle ich drei Gleichungen auf:


das mit
versteh ich ja, aber wo kommen die 2 anderen gleichungen her?

verwirrt

danke fürs "von der leitung runter helfen"
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die nach x2 umgestellte Gleichung ist der wichtige Angelpunkt, sie enthält auf der rechten Seite x1 und x3. Es werden nun noch zwei Gleichungen mit eben derselben Eigenschaft der rechten Seiten konstruiert, welche links einmal mit x1 = und einmal mit x3 = beginnen.

Diese beiden anderen Gleichungen stelllen nur Identitäten dar.

ist unzweifelhaft richtig.
Damit dann die anderen Variablen und der Anfangspunkt auch "mitspielen" können, bringt man das - mit den Faktoren 0 - einfach hier herein:



Diese Gleichung sagt das Gleiche wie die obige aus. Den rechten Teil kann man nun analog zur Parametergleichung sehen. In allen drei Gleichungen sind dann x1 und x3 wie beliebige Parameter (s, t) zu behandeln. Dies geht deswegen, weil zwei der drei Variablen durch einen Parameter ersetzt werden können: x1 = s, x3 = t

mY+
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