Supremum, Infimum, Konvergenz

08.11.2008, 17:47

Arturo24

Supremum, Infimum, Konvergenz

Aufgabe:
Bestimmen Sie - falls möglich - Das Infimum und Supremum der folgenden Menge

1) $\begin{eqnarray*} A:=\{x\in \mathbb R: \frac{2x-3}{x-3}\geq 5\} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich diese Ungleichung versucht habe nach x aufzulösen, bekommen ich raus:

$\begin{eqnarray*} x\leq 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<3 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet die Menge sieht so aus: $\begin{eqnarray*} A=\{4\} \end{eqnarray*}$ oder sehe ich da was falsch?

Da $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ das einzige Element ist, sollte $\begin{eqnarray*} \sup(A)=\inf(A)=4 \end{eqnarray*}$ sein.

Ist das korrekt so?

08.11.2008, 17:52

Airblader

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$\begin{eqnarray*} \frac{2x-3}{x-3} \geq 5~\Leftrightarrow~\frac{2x-3}{x-3}-5\geq 0 \end{eqnarray*}$

air

08.11.2008, 18:03

Arturo24

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Da der Schnittpunkt der beiden von dir eingegebenen Funktionen bei $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ liegt müsste ich das richtig gelöst haben oder?

Dann kommt auch schon die nächste Menge:

$\begin{eqnarray*} B:=\{x=2+(-1)^n\frac{3}{n}:n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Also ich sehe dass die Menge im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,3.5] \end{eqnarray*}$ liegt.
Begründen kann ich das dadurch, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade monoton wächst und gegen 0 konvergiert und die Folge für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade monoton fällt und ebenfalls gegen 0 konvergiert.
Dementsprechend müsste $\begin{eqnarray*} \sup(B)=3,5 \wedge \inf(B)=-1 \end{eqnarray*}$ liegen, aber stimmt das überhaupt und wie kann ich das mathematisch korrekt hinschreiben?

08.11.2008, 18:54

Airblader

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Zitat:

Original von Arturo24
Da der Schnittpunkt der beiden von dir eingegebenen Funktionen bei $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ liegt müsste ich das richtig gelöst haben oder?

Nicht einfach vermuten, sondern nachdenken.
Oder anders gesagt:

Prüfe doch mal $\begin{eqnarray*} x=3.5 \end{eqnarray*}$

Es geht hier nicht um eine Gleichung, sondern um eine Ungleichung - allein der Schnittpunkt sagt also nicht alles.

air

08.11.2008, 19:06

Arturo24

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Stimmt

Für $\begin{eqnarray*} x=3,5 \end{eqnarray*}$ stimmt sie auch.

Das heißt, die Menge müsste so sein:

$\begin{eqnarray*} A=\{x\in \mathbb R : 3<x\leq 4\}=(3,4] \end{eqnarray*}$

Ich hab ja 2 Fallunterscheidungen gemacht, allerdings gibt die 2te Fallunterscheidung keinen Sinn, denn da ist ja vorausgesetzt $\begin{eqnarray*} x<3 \end{eqnarray*}$ und da kommt raus $\begin{eqnarray*} x\geq 4 \end{eqnarray*}$

Jetzt korrekt?

08.11.2008, 21:57

Airblader

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Ja, jetzt stimmt die Menge :top:

air

08.11.2008, 22:24

Arturo24

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Kannst du denn was zur zweiten Menge sagen?

Wie gesagt das Ergebnis habe ich mir durch meine Gedanken rausgeknobelt, aber wie schreibe ich sowas formal auf und zeige es?

10.11.2008, 13:34

Arturo24

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Da mir keiner bei dieser Menge helfen kann, gehe ich mal zur nächsten Menge über:

$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in \mathbb R:|x^2+x|<2\} \end{eqnarray*}$
1. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2+x-2=(x+0,5)^2-2,25>0 \Rightarrow (x+0,5)^2>2,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+0,5>1,5 \Rightarrow x>1 \wedge x+0,5<-1,5\Rightarrow x<-2 \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} -x^2-x-2<0 \Rightarrow x^2+x+2>0 \Rightarrow (x+0,5)^2+1,75>0 \Rightarrow (x+0,5)^2>-1,75 \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Aufgrund der letzten Eigenschaft in Fall 2) dürfte diese Funktion doch kein Supremum und Infimum besitzen oder?

Danke

10.11.2008, 14:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arturo24
Da mir keiner bei dieser Menge helfen kann, gehe ich mal zur nächsten Menge über:

Bei der Menge B solltest du ergänzen, daß a_1 = -1 und a_2 = 3,5 ist und somit die Intervallgrenzen als Folgenwerte vorkommen. Sonst ok.

zu C:

Wie man sieht, gibt es einen beschränkten Bereich für x, wo die Bedingung gilt. Irgendwas ist also an deiner Rechnung falsch.

10.11.2008, 14:08

Arturo24

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Ich habs jetzt nochmal ausgerechnet und komme wieder auf das selbe Ergebnis?
Weißt du wo mein Fehler liegt?

Ja der beschränkte Bereich liegt bei (-2,1) was ich auch im ersten Fall rausbekomme, aber der zweite Fall sieht ja anders aus. verwirrt

10.11.2008, 14:23

klarsoweit

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Du mußt doch erstmal schauen, wo x² + x >= 0 bzw. x² + x < 0 ist. Wenn du das hast, kannst du die Betragsstriche entsprechend auflösen und dann die Ungleichung lösen.

10.11.2008, 14:52

Arturo24

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Bei $\begin{eqnarray*} x^2+x\geq 0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \wedge x<-1 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} x^2+x<0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} x<0 x>-1 \end{eqnarray*}$

Nur wie löse ich jetzt die Betragsstriche auf?

10.11.2008, 15:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arturo24
Bei $\begin{eqnarray*} x^2+x\geq 0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \wedge x<-1 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} x^2+x<0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} x<0 x>-1 \end{eqnarray*}$

Gerade umgedreht:
$\begin{eqnarray*} x^2+x \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \text{ oder } x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x < 0 \Rightarrow -1 < x < 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Arturo24
Nur wie löse ich jetzt die Betragsstriche auf?

Das ist eine Übung, die jeder Oberstufenschüler mit Leichtigkeit beherrscht. Ich hätte echt Lust, die Frage ans Kultusministerium weiterzuleiten. (Bitte nicht so ernst nehmen, aber das mußte mal gesagt werden. )

Wenn der Term zwischen den Betragsstrichen >= 0 ist, läßt man die Betragsstriche einfach weg.
Wenn der Term zwischen den Betragsstrichen negativ ist, läßt man die Betragsstriche weg und dreht das Vorzeichen des Terms um.

10.11.2008, 17:45

Arturo24

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Ich verstehe das nicht, wieso haben wir das jetzt gemacht?

Ich habe Betragsstriche immer so aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} |x^2+x|<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x<2 \wedge -x^2+-x<2 \end{eqnarray*}$

Was ist denn hier dran falsch?

11.11.2008, 09:45

klarsoweit

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OK, so kann man es auch machen, aber so hast du es bislang nicht geschrieben.

Aus $\begin{eqnarray*} x^2+x-2<0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (x+2) \cdot (x-1)<0 \Rightarrow -2 < x < 1 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} -x^2-x-2<0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x^2+x+2>0 \Leftrightarrow (x+0,5)^2 + 1,75 > 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist für alle x erfüllt.

Bleibt also unter Strich die Folgerung -2 < x < 1 .

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