Grenzwert von sin(...)

08.11.2008, 19:20	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von sin(...) Hi Leute, hab eine Aufgabe zur Konvergenz. Ich muss folgende Funktionen auf Konvergenz überprüfen, und falls vorhanden den Grenzwert angeben: 1.) $\begin{eqnarray} a_n=\sin(\frac{n\pi}{4}) \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{n} \sin(nr) \end{eqnarray}$ Mir ist ja eigentlich klar dass für 1.) kein Grenzwert existiert. Die Funktion befindet sich ja immer im Intervall [-1;1]. Also divergent? Und wie zeige ich das? Für 2.) ist ja offenbar eine Nullfolge, da es sich um eine gedämpfte Sinusschwingung handelt, oder? Aber auch hier habe ich keine Idee wie man das zeigt! Hat jemand eine Ahnung? Mir ist grad noch eingefallen, dass ich die folgende Idee hatte: Für 2.) gilt ja: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sin(nr)= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \sin(nr) \end{eqnarray}$ Da ja $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}=0 \end{eqnarray}$ ist, müsste ja eigentlich egal sein wie sich der andere Limes verhält, da 0 mal irgendwas ja immer 0 ist. Kann man so argumentieren? Dankeschön... Carlo
08.11.2008, 19:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1): Betrachte zum einen $\begin{eqnarray} n=8\cdot k+1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ und zb $\begin{eqnarray} n=8\cdot k+2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Bestimme jeweils die Werte die der Sinus da annimmt. Was erkennst du? Zu 2): Es ist $\begin{eqnarray} \|\sin(...)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ . Nun du nimmst den Grenzwert 0 an, also musst du $\begin{eqnarray} \|a_n-0\| \end{eqnarray}$ kleiner als jedes $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ bekommen...
09.11.2008, 12:54	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi system-agent, also erstmal danke für deine Antwort. Zu 1.) Ich erkenne dass für $\begin{eqnarray} n=8\cdot k+1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ immer gilt, dass $\begin{eqnarray} a_n=\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ ist. Und weiter gilt für alle $\begin{eqnarray} n=8\cdot k+2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} a_n=1 \end{eqnarray}$ ist. Also würde ich jetzt Verallgemeinern, dass für alle $\begin{eqnarray} n=8\cdot k+m \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z, m\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} a_n=const \end{eqnarray}$ ist. Was genau schlussfolgere ich jetzt daraus für den Grenzwert? Irgendwie komme ich nicht darauf! Zu 2.) Wir haben sowas ähnliches in der Vorlesung gemacht. Ich würde jetzt so vorgehen: Ich suche also ein $\begin{eqnarray} n_\epsilon \end{eqnarray}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_\epsilon \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \mid \frac{1}{n} \cdot \sin (nr) \mid <\epsilon \end{eqnarray}$ ist. Da ja $\begin{eqnarray} \|\sin(nr)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ ist, wird also der erste Faktor $\begin{eqnarray} \mid \frac{1}{n}\mid \end{eqnarray}$ dadurch höchstens kleiner oder bleibt gleich. Also müsste ich dass ganze ja nur für $\begin{eqnarray} \mid \frac{1}{n}\mid<\epsilon \end{eqnarray}$ untersuchen, oder? Und da haben wir die Lösung in der Vorlesung gemacht. Wenn ich dass also so hinschreibe und dann die Lösung aus der Vorlesung abschreibe, habe ich dass dann gelöst? Danke dir... Carlo
09.11.2008, 13:48	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1): Du hast also zwei konvergente Teilfolgen von der Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gefunden und beide Teilfolgen konvergieren gegen verschiedene Grenzwerte. Was müsste aber für den Grenzwert jeder Teilfolge von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gelten, damit $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gegen etwas konvergent ist? Zu 2): Ja, das ist richtig so.
09.11.2008, 15:06	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich hab das mit den Teilfolgen so in der Form noch nie gehört, aber meine Nachforschungen haben ergeben, dass alle Teilfolgen auch gegen den gleichen Grenzwert streben müssen, wenn eine Folge konvergent ist. Ich danke dir sehr für deine hilfreichen Tipps!!! Bis dann... Carlo

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