Aufgabe zu Körpern

08.11.2008, 20:07

saz

Aufgabe zu Körpern

Folgende Aufgabe zu Körpern:
Es sei K ein Körper, 0 die Null und 1 die Eins von K.
Im Allgemeinen ist die Menge $\begin{eqnarray*} N_0=\{0,1,2,...\} \end{eqnarray*}$ nicht in K enthalten! Es wird zu jedem $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ das natürliche Vielfache $\begin{eqnarray*} n \times a \end{eqnarray*}$ , das n-fache von a, definiert:
$\begin{eqnarray*} 0 \times a:= 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n \times a := ((n-1) \times a) + a \end{eqnarray*}$ für n=1,2,3,...

Zu "Es sei K ein Körper, 0 die Null und 1 die Eins von K." schon mal die erste Frage: Was sagt mir das? Das die 0 das Nullelement von der einen inneren Verknüpfung ist und die 1 das Einselement der anderen Verknüpfung...? Bzw. wieso sind die inneren Verknüpfungen des Körpers gar nicht angegeben?

Nun die Aufgabe, zu der die eigentliche Frage kommt:
b) Sind $\begin{eqnarray*} a, b \in K \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} n \times (a+b) = (n \times a) + (n \times b) \end{eqnarray*}$

Folgt das nicht einfach aus dem Distributivgesetz? (Das ja eine der Voraussetzung für die Bildung eines Körpers bzw. Rings ist.)

08.11.2008, 20:55

system-agent

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Der erste Satz sagt dir, dass man in deinem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ das Nullelement mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und das Einselement mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Dabei ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Körperaddition aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ das neutrale der Multiplikation bzgl der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Das sind aber nur Bezeichnungen die der Übersichtlichkeit dienen. Man hätte genausogut " $\begin{eqnarray*} Hugo \end{eqnarray*}$ " als neutrales Element der Addition definieren können.

Diese Definition sagt dir, dass es einem abstrakten Körper keine "Zahlen" gibt. Aber der Bequemlichkeit halber schreibt man statt
$\begin{eqnarray*} a+a+a+a \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 4a \end{eqnarray*}$ für ein ein Körperelement $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
ABER, die $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ gibt es wohl nicht in deinem Körper !!!!
Es ist einfach eine abkürzende Schreibweise.

Nun sollst du zeigen, dass sich diese Abkürzung wirklich so verhält wie du es gewohnt bist !

08.11.2008, 21:01

saz

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Hm okay. Dann hatte ich das ja soweit schon im Grunde erstmal richtig verstanden, danke nochmal für deine Erklärung.

Aber wäre es nicht trotzdem ganz angebracht, wenn man noch nähere Informationen über die inneren Verknüpfungen des Körpers hätte? Wie schon geschrieben - Wenn man das $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ als Multiplikation wertet und das + als Addition, würde ja die gestellte Aufgabe direkt aus dem Distributivgesetz folgen, dass ja schließlich gerade für die Kombination der beiden Verknüpfungen existiert - und die Voraussetzung für die Bildung eines Rings ist.

08.11.2008, 21:06

papahuhn

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Zitat:

Wenn man das $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ als Multiplikation wertet und das + als Addition, würde ja die gestellte Aufgabe direkt aus dem Distributivgesetz folgen, dass ja schließlich gerade für die Kombination der beiden Verknüpfungen existiert

Richtig, aber $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist hier ja anders definiert. Die Multiplikationsverknüpfung des Körpers spielt bei dieser Aufgabe keine Rolle, mit $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ist aber tatsächlich die Additionsverknüpfung des Körpers gemeint.

Edit: Ach, du hast Recht, systemagent. Wie kann man hier Text durchstreichen, ohne ihn zu löschen?

08.11.2008, 21:06

system-agent

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Nein, man nimmt beliebige Verknüpfungen [die gerade so beschaffen sind, dass ein Körper entsteht].
Und nein, das folgt nicht aus dem Distributivgesetz, da $\begin{eqnarray*} n\notin K \end{eqnarray*}$ !!

Wie ich eben sagte:
$\begin{eqnarray*} 4a \end{eqnarray*}$ ist eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} a+a+a+a \end{eqnarray*}$ , nichts weiter. Und $\begin{eqnarray*} 4\notin K \end{eqnarray*}$ .

Das Distributivgesetz macht nur Aussagen für Elemente $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac \end{eqnarray*}$

08.11.2008, 21:14

saz

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Okay, dass $\begin{eqnarray*} k \notin K \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich Hammer

. Damit hat das ganze wieder mehr Sinn ...

Danke für eure Erklärungen!

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