Legendre P./Orthogonalität u. Nullstellen

23.08.2006, 19:04	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre P./Orthogonalität u. Nullstellen Hallo, ich soll zeigen, dass für die Legendre Polynome: (manchmal werden die auch etwas anders definiert) $\begin{eqnarray} P_m(x)=\frac{m!}{(2m)!} \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m \end{eqnarray}$ gilt: 1.) die legendre polynome besitzen m paarweise verschiedene Nullstellen zwischen -1 und 1 2.) Für n,m und n verschieden von m gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)=0 \end{eqnarray}$ 3.) Für alle m aus IN ist $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}P_m(x)P_m(x)\neq0 \end{eqnarray}$ edit: 3.) hat sich erledigt
23.08.2006, 19:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gehört wohl in die Kategorie Beweise, auf die man schwer selbst kommt, und die man lieber in einem Lehrbuch nachschlägt. Leider fällt mir keins ein, wo der Beweis sicher drinsteht. 3. ist einfach, und 2. zumindest für ungerade $\begin{eqnarray} m+n \end{eqnarray}$ klar. Aber der Rest... P.S.: Der einzige ernstzunehmende Ansatz hier im Board ist leider auch nicht sehr weit gediehen: Legendre-Polynome
26.08.2006, 01:33	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2. hab ich mir was überlegt weiß aber nicht so recht. Also die Fakultäten am Anfang sind egal da man die beim Integrieren sowieso vor das Integral zieht. Notation: $\begin{eqnarray} m:=\frac{d^m}{dx^m} (x^2-1) \end{eqnarray}$ n<m Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int mn = (m-1)n-\int (n+1)(m-1) \end{eqnarray}$ Das (m-1)n müsst dann ja immer Null sein weil in jedem Summand immer (x^2-1) steht. Dann macht man die part. Intgration so lange bis man wieder bei $\begin{eqnarray} \int (n+1+m-n-2)(m-1-m+n+2) \end{eqnarray*}$ rauskommt und hätte man es ja, oder stecken da jetzt fehler drin?

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