Infimum, Supremum, Maximum, Minimum

09.11.2008, 11:10

Svenja1986

Infimum, Supremum, Maximum, Minimum

Entscheiden Sie bitte, ob folgende Mengen M nach oben oder nach unten beschränkt sind. Bestimmen Sie gegebenfalls das Infimum, das Supremum, das Maximum und das Minimum der jeweiligen Menge:

(a) $\begin{eqnarray*} M :=\{x\in\mathbb{R}^{-}:x^2 + 2x + 2 \geq5\} \end{eqnarray*}$ ,

(b) $\begin{eqnarray*} M :=\{\frac{1-t}{1+t}: t\in[0;1]\} \end{eqnarray*}$ ,

(a) $\begin{eqnarray*} M :=\{x\in\mathbb{R}: ||x-1| + |x+1|| \geq1\} \end{eqnarray*}$ .

So, dazu habe ich mir folgendes überlegt:

(a) Maximum=-3 (=auch Supremum), Minimum & Infimum existiert nicht
(b) Maximum= 1, Minimum= 0
(c) Da bin ich mir nicht sicher. Gibt weder Maximum, noch Minimum?

Vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen und mich verbessern bzw. Tipps geben smile

09.11.2008, 11:28

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 2 \geq 5 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 \geq 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt schau Dir den Graphen an und wie die Funktionswerte für x > 0 aussehen.

Für mich ganz klar, gibt es kein Maixmum, kein Supremum wohl aber Minimum und Infimum.

zu b)

Stimmt also.

zu c)

$\begin{eqnarray*} |x - 1| + |x + 1| \geq 1 \Leftrightarrow |x - 1| + |x + 1| - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Plot :

Na, eine Idee ?

09.11.2008, 11:53

Arturo24

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze
Ich hab ja einen ähnlichen Thread aufgemacht, aber dort noch keine Antwort bekommen, da dieser ähnlich ist wollte ich dich fragen, ob man das nicht nachweisen muss, das dort ein Infimum oder Supremum ist? Und wenn ja wie?

09.11.2008, 12:12

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
zu a)

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 2 \geq 5 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 \geq 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt schau Dir den Graphen an und wie die Funktionswerte für x > 0 aussehen.
Für mich ganz klar, gibt es kein Maixmum, kein Supremum wohl aber Minimum und Infimum.

Aber x>0 sind doch gar nicht in der Menge enthalten...? verwirrt

Dann ist das Minimum bei -3?

Zitat:

Original von Mazze
zu c)
$\begin{eqnarray*} |x - 1| + |x + 1| \geq 1 \Leftrightarrow |x - 1| + |x + 1| - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
Na, eine Idee ?

Hm... Supremum bei 1 und Infimum bei -1. Kein Maximum und kein Minimum... Erstaunt1

09.11.2008, 13:14

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@Mazze Ich hab ja einen ähnlichen Thread aufgemacht, aber dort noch keine Antwort bekommen, da dieser ähnlich ist wollte ich dich fragen, ob man das nicht nachweisen muss, das dort ein Infimum oder Supremum ist? Und wenn ja wie?

Natürlich muss man das. Die Funktionsgraphen sind nur dazu da um eine Idee zu bekommen. Nun wie man das zeigt? In der Regel mit Abschätzungen und den Entsprechenden Definitionen von Infimum und Supremum.

Zitat:

Hm... Supremum bei 1 und Infimum bei -1. Kein Maximum und kein Minimum... Erstaunt1

Schau Dir nochmal genau an was Supremum, Infimum , Maximum und Minimum genau bedeuten.

edit:

Zitat:

Aber x>0 sind doch gar nicht in der Menge enthalten...?

Mein Fehler , ich meinte f(x) > 0 mit f = x^2 + 2x - 3

Zitat:

Dann ist das Minimum bei -3?

Bei -1 ist x^2 + 2x - 3 am kleinsten für negative x.

09.11.2008, 14:02

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

also zur (a)

Das heißt, das Minimum liegt bei -1?

zur (c)
Ok, Minimum sind alle Werte von -1 bis 1. Kann man das so sagen?

09.11.2008, 14:21

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das heißt, das Minimum liegt bei -1?

Zitat:

Bei -1 ist x^2 + 2x - 3 am kleinsten für negative x.

Kennst Du noch was kleineres als am kleinsten?

Zitat:

Ok, Minimum sind alle Werte von -1 bis 1. Kann man das so sagen?

Ja, das könnte man sagen. Wie siehts mit Infimum, Supremum und Maximum aus?

09.11.2008, 14:27

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Das heißt, das Minimum liegt bei -1?

Zitat:

Bei -1 ist x^2 + 2x - 3 am kleinsten für negative x.

Kennst Du noch was kleineres als am kleinsten?

Ich glaube nicht Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Ok, Minimum sind alle Werte von -1 bis 1. Kann man das so sagen?

Ja, das könnte man sagen. Wie siehts mit Infimum, Supremum und Maximum aus?

Existieren nicht...

09.11.2008, 14:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es ein Minimum gibt, gibt es immer auch ein Infimum. Gibt es ein Maximum gibt es immer ein Supremum. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht.

09.11.2008, 14:34

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... dann ist bei der (c) das Infimum gleich dem Maximum...?

Ist das bei den anderen auch so? verwirrt

09.11.2008, 14:36

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hm... dann ist bei der (c) das Infimum gleich dem Maximum...?

Bei c) gibt es doch garkein Maximum. Allerdings ist bei c) Minimum = Infimum.

Ich habe übrigens einen Fehler gemacht. Bei Aufgabe 1 ist natürlich dass Minimum bei -3 wie Du vorhin richtig gesagt hast. Wir betrachen ja nur die Menge x^2 + 2x -3 >= 0.

Im Allgemeinen kann man sagen :

Existiert ein Maximum so ist Supremum = Maximum.
Existiert ein Minimum so ist Infimum = Minimum.

09.11.2008, 14:39

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Hm... dann ist bei der (c) das Infimum gleich dem Maximum...?

Bei c) gibt es doch garkein Maximum. Allerdings ist bei c) Minimum = Infimum.

Meinte ich ja Finger1

Zitat:

Original von Mazze
Ich habe übrigens einen Fehler gemacht. Bei Aufgabe 1 ist natürlich dass Minimum bei -3 wie Du vorhin richtig gesagt hast. Wir betrachen ja nur die Menge x^2 + 2x -3 >= 0.

Alles klar smile

Und wie ist das z. B. bei der (b)? Ist da das Supremum gleich dem Maximum und das Infimum gleich dem Minimum?

09.11.2008, 14:44

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Übrigens nur mal um ein Beispiel zu sehen wo es ein Infimum aber kein Minimum gibt, die Menge

$\begin{eqnarray*} M = \{e^x : x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

hat das Infimum 0, aber kein Minimum, als auch kein Supremum und Maximum.

09.11.2008, 14:46

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok ich verstehe Idee!

Vielen Dank Freude

Neue Frage »

Antworten »

Infimum, Supremum, Maximum, Minimum

Verwandte Themen