endliche abelsche Gruppe auch zyklisch

09.11.2008, 10:37

toasten

endliche abelsche Gruppe auch zyklisch

Hallo,

könnte mir bitte jemand helfen zu zeigen, dass eine endlich abelsche Gruppe mit der Ordnung n=pq (wobei p und q Primzahlen sind) auch zyklisch ist.

Danke
Toasten

09.11.2008, 11:17

kiste

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Welche Sätze kennst du den schon? Bist du erst am Anfang des Studiums oder stehen dir Sachen wie Sylowsätze oder Satz von Cauchy schon zur Verfügung? Kennst du Faktorgruppen?

09.11.2008, 11:41

toasten

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Ich bin eher am Anfang. Also diese Sätz kenne ich nicht. Faktorgruppen kenn ich.

Danke
Toasten

09.11.2008, 11:46

kiste

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Eine andere Möglichkeit die mir einfällt wäre der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen & chin. Restsatz, aber das wirst du dann wohl auch nicht kennen Augenzwinkern

Also eine elementare Idee:
Sei G eine abelsche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G| = pq \end{eqnarray*}$ . Betrachte ein $\begin{eqnarray*} 1 \neq g \in G \end{eqnarray*}$ . Welche Ordnung kann dann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ haben?
Falls die Ordnung p oder q ist betrachte $\begin{eqnarray*} \kappa : G \to G/<g> \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ ist normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch ist.
Welche Ordnung kann dann ein $\begin{eqnarray*} h\in G/<g> \end{eqnarray*}$ haben? Welche Ordnung hat ein Urbild dieses $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2008, 12:06

toasten

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Also g kann die Ordnung n=pq haben. In diesem Fall kann man dann wahrscheinlich sofort G=<g> schreiben und ist fertig?!

Hat man nun $\begin{eqnarray*} ord_G(g)=p \end{eqnarray*}$ , so... tja...

Dein genanntes $\begin{eqnarray*} h \in G / <g> \end{eqnarray*}$ wird vielleicht die Ordnung $\begin{eqnarray*} p \cdot p = p^2 \end{eqnarray*}$ haben?

...hmm, irgendwie fehlt mir aber noch das Verständnis mit dem Begriff zyklisch umzugehen :-(

09.11.2008, 12:15

Mathespezialschüler

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@toasten
Zyklisch bedeutet bei endlichen Gruppen nichts anderes, als dass es ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} n=|G| \end{eqnarray*}$ gibt. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} G=\{1x,x^2,\ldots,x^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ .

@kiste
Warum gehst du erst zur Faktorgruppe über und dann wieder zurück? Da kannst du auch gleich in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bleiben:

Hat $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \end{eqnarray*}$ ein Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} h\in G \end{eqnarray*}$ , was nicht in $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \end{eqnarray*}$ liegt. Und nun kann man die gleiche Frage stellen: Welche Ordnung kann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ haben? Dann musst du nicht diesen Umweg gehen.

@toasten
Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ verschieden sein sollen (das hast du in der Voraussetzung nicht angeführt), kann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nur die Ordnungen $\begin{eqnarray*} p,q,n \end{eqnarray*}$ haben. Bei Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bist du fertig, bei Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kannst du einen Widerspruch finden und bei Ordnung $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ findest du explizit ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

09.11.2008, 12:18

kiste

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@MSS
Mir ist nicht klar warum es elementar gesehen nur eine p-Sylowgruppe geben sollte. Sprich wo nimmst du den Widerspruch her wenn du nur $\begin{eqnarray*} h \not\in <g> \end{eqnarray*}$ betrachtest?

09.11.2008, 12:35

toasten

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Also ich mir jetzt folgendes überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} ord_G(g)=p \end{eqnarray*}$ , so erzeugt also g eine zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, g , \ldots , g^{p-1} \right\} \end{eqnarray*}$ mit p Elementen. Da ja nun q>1 ist, gibt es mehr Elemente, es existiert also ein h, welches nicht zu dieser zyklischen Untergruppe gehört.

Hat dieses h die Ordnung p, so erzeugt es wieder eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, h, \ldots , h^{p-1} \right\} \end{eqnarray*}$ mit p Elementen.
Die Elemente $\begin{eqnarray*} g^ih^j , i,j = 0 , \ldots , p-1, \end{eqnarray*}$ sind paarweise verschieden und bilden eine Untergruppe mit p^2 Elementen. Da ja n=pq, wobei ja $\begin{eqnarray*} p \neq q \end{eqnarray*}$ (wie du richtig angemerkt hast), kann also die Ordnung von h nicht p sein - sondern muss verscheiden von p sein.

Ist die $\begin{eqnarray*} ord_G(h)=n=pq \end{eqnarray*}$ , so kann ich also folgern dass die Untergruppe $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, h, ldots , h^{n-1} \right\} \end{eqnarray*}$ mit n Elementen die Gruppe G selbst ist?!

Ist $\begin{eqnarray*} org_G(h)=q \end{eqnarray*}$ , --- hier kommt wahrscheinlich das abelsch ins Spiel...?

09.11.2008, 12:40

kiste

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Zitat:

Original von toasten
Die Elemente $\begin{eqnarray*} g^ih^j , i,j = 0 , \ldots , p-1, \end{eqnarray*}$ sind paarweise verschieden

Warum?

Für den Fall das h die Ordnung q hat berechne die Ordnung von gh

09.11.2008, 12:47

Mathespezialschüler

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@kiste
Es ist hoffentlich klar, woher ich jetzt den Widerspruch nehme. Ebene aus $\begin{eqnarray*} |\langle g,h\rangle|=p^2 \end{eqnarray*}$ . Im Übrigen habe ich keine Ahnung von Sylowgruppen, insofern konnte ich dir da leider nicht folgen.

@toasten
Ja, bei Ordnung $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ kommt die Komutativität ins Spiel. Die brauchst aber auch schon, um zu zeigen, dass die Elemente $\begin{eqnarray*} g^ih^j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq i,j\leq p-1 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe bilden.

09.11.2008, 13:13

toasten

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Dass die Elemente $\begin{eqnarray*} g^i h^j \end{eqnarray*}$ paarweie verscheieden sind habe ich mir daher gedacht, weil ja schon g und h verschieden sind (da h ja nicht in der Untergruppe $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, g , \ldots , g^{p-1} \right\} \end{eqnarray*}$ liegt)...

aber ob das so ganz schlüssig ist, bin ich mir auch nicht sicher. Und so ganz ist mir auch nicht klar , was die Kommutativität mit dem zyklisch zu tun haben soll?

Danke
Toasten

09.11.2008, 13:42

kiste

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Okay stand wohl bei der Begründung ziemlich auf dem Schlauch. Ja das geht so wie MSS vorgeschlagen hat.

Die Begründung finde ich allerdings etwas unnatürlicher als die Faktorstruktur da man Zählen musste Augenzwinkern

.

@toasten
Zeige jetzt mit Hilfe der Kommutativität das die Ordnung von gh eben pq ist.
Nutze dazu $\begin{eqnarray*} (gh)^n \stackrel{Komm.}{=} \ldots \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 17:05

toasten

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hmm irgendwie stehe ich gerade ein bisschen aufn Schlauch, was ich hier zeigen möchte/soll...?

Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} (gh)^n=(gh)^{pq}=g^{pg}h^{pq}=e \cdot e = e \end{eqnarray*}$ , wobei e das neutrale Elemente ist (also hier e=1). Aber das wird es nicht sein, was ich herausbekommen möchte, oder?!

09.11.2008, 18:55

kiste

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Daraus folgt bereits o(gh) | n.
Also ist nur noch o(gh) = p oder o(gh) = q möglich. Führe dies zum Widerspruch

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