Anwendung von Sylowsätzen

09.11.2008, 13:05

Sly

Anwendung von Sylowsätzen

Hallo zusammen...mal wieder eine Algebra Aufgabe, wo man denkt, die Lösung sei ja so einfach, und plötzlich klappt's nicht verwirrt

Die Aufgabe ist folgende

Zitat:

Zeige, dass es keine einfachen Gruppen der Ordnung 312 und 616 gibt.

Nach welchem Schema das Ganze ablaufen soll, hat uns unser Übungsgruppenleiter auch schon erklärt. Hat bei der Ordnung 312 auch wunderbar funktioniert:

Sei $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G_1|=312 \end{eqnarray*}$ . Man hat Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} 312 = 2^3\cdot 39 \end{eqnarray*}$ . Nach Sylows erstem Satz folgt, dass es zunächst eine Untergruppe H gibt mit $\begin{eqnarray*} |H|=39 \end{eqnarray*}$ . Nach Sylows zweitem Satz folgt, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \operatorname{Syl}_{39} \end{eqnarray*}$ der 39-Sylowgruppen ein Teiler ist von $\begin{eqnarray*} [G:H] = 2^3=8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\operatorname{Syl}_{39}|=1+39k \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Es folgt leicht $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und somit, dass es nur eine 39-Sylowgruppe gibt. In der Vorlesung hatten wir, dass dieser dann ein Normalteiler sein muss.

Nun funktioniert dieses Vorgehen aber bei der zweiten Ordnung absolut nicht. verwirrt

Denn ist analog $\begin{eqnarray*} |G_2|=616=2^3\cdot 7\cdot 11 \end{eqnarray*}$ und betrachtet jeweils analog alle möglichen Fälle, dann folgt (zusammengefasst), dass
$\begin{eqnarray*} |\operatorname{Syl}_2| \Bigl| 7\cdot 11=77\qquad\wedge\qquad |\operatorname{Syl}_2|=1+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\operatorname{Syl}_7| \Bigl| 2^3\cdot 11 = 88\qquad\wedge\qquad |\operatorname{Syl}_7| = 1+7k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\operatorname{Syl}_{11}| \Bigl| 2^3\cdot 7 = 56\qquad\wedge\qquad |\operatorname{Syl}_{11}| = 1+11k \end{eqnarray*}$

Aber dasselbe Argument funktioniert hier nicht! Beim ersten haut k=3 hin, beim zweiten k=1 und beim dritten k=5 !
Was mach ich denn für einen Fehler? Ich habe keine Ahnung, wie weiter...

09.11.2008, 13:14

kiste

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Hallo,

ich habe es noch nicht komplett durchgerechnet. Aber versuche einmal die Elemente zu zählen.
Falls $\begin{eqnarray*} |Syl_{11}| = 56 \end{eqnarray*}$ wie viele Elemente der Ordnung 11 muss es dann geben? Analog für die 7-Sylow.
Schaue dann wieviele für die 2-Sylows noch übrig bleiben.

edit: So Rechnung komplett Augenzwinkern

Ja das führt auf jeden Fall zum Ziel

09.11.2008, 14:06

Sly

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?!

Dieses Vorgehen scheint, glaube ich, nicht wirklich das zu sein, was WIR machen müssen...sowas ist mir jedenfalls unbekannt.

Ich hab keine Ahnung, wieviele Elemente es mit Ordnung 11 genau geben muss. Auf jeden Fall mindestens 56, aber was hilft mir das weiter? Analog mindestens 8 der Ordnung 7...

/edit: moment, noch nicht mal das muss stimmen...die sylowgruppen müssen ja nicht zyklisch sein

09.11.2008, 14:16

Sly

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Okay, sorry für den Doppelpost, aber inhaltlich neues dabei.

Also...ich muss mich korrigieren. In jedem $\begin{eqnarray*} P\in Syl_{11} \end{eqnarray*}$ muss es auf jeden Fall wegen $\begin{eqnarray*} |P|=11 \end{eqnarray*}$ prim 10 verschiedene Elemente mit Ordnung 11 geben.
ABER: Die Sylowgruppen mit Ordnung 11 müssen ja nicht zwangsläufig (bis auf neutrales Element) disjunkt sein, oder? Von daher weiß ich noch immer nicht so recht, wie man die Gesamtanzahl bestimmen will verwirrt

09.11.2008, 14:38

kiste

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Okay das stimmt schon einmal. Pro Sylowgruppe sind es auf jeden Fall 10 Elemente der Ordnung 11.
Hast du jetzt $\begin{eqnarray*} g\in P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in Q \end{eqnarray*}$ wobei P,Q Sylowgruppen und g ein Element der Ordnung 11 ist so muss $\begin{eqnarray*} P = \langle g \rangle = Q \end{eqnarray*}$ gelten. Also gibt es insgesamt 56*10 Elemente der Ordnung 11.

Du kommst allein mit Methode aus dem Beispiel 312 nicht zum Ziel. Die Methode mit dem Zählen der Elemente scheint da noch relativ einfach zu sein

09.11.2008, 15:26

Sly

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Aaaah, okay, jetzt hab ichs verstanden.

Also hat man 560 Elemente der Ordnung 11, falls es 56 11-Gruppen gibt. und man hat dann auch ananlog in jeder 7-Gruppe 6 Erzeuger, also falls es mehr als eine 7-Gruppe gibt, dann mindestens 8 und somit gibt es 8*6=48 Elemente der Ordnung 7.

Sollten nun AUCH noch mehrere 2-Sylowgruppen existieren, dann sind es mindestens 7. Diese 2-Sylowgruppen haben Ordnung 8, also gibt es 4 Erzeuger in ihr. Also zusätzlich 4*7=28 Elemente der Ordnung 8. Somit ergeben sich 560+48+28=636 Elemente, und das gibt einen Widerspruch. Richtig?

Wie geil, das uns die Übungsgruppenleiter verarschen LOL Hammer

Naja okay, das führt off-topic

09.11.2008, 15:31

kiste

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"Diese 2-Sylowgruppen haben Ordnung 8, also gibt es 4 Erzeuger in ihr."
Den Teil verstehe ich nicht ganz.

Ich hatte einfach:
Man hat 560 + 48 Elemente = 608.
Nimmt man eine 2-Sylowgruppe dazu so gibt es 616 Elemente. Gäbe es eine zweite 2-Sylowgruppe so gäbe es ein weiteres Element das noch nicht aufgezählt wurde. Widerspruch, also ist eine der Annahmen falsch und somit $\begin{eqnarray*} |Syl_{11}| = 1 \lor |Syl_7| = 1 \lor |Syl_2| = 1 \end{eqnarray*}$ . Also gibt es eine Sylowgruppe die Normalteiler ist.

edit: Kannst mir gerne per PN schreiben wie euch die Übungsleiter verarschen, jetzt hast mich neugierig gemacht Big Laugh

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