Gruppenhomomorphismus

09.11.2008, 13:33

DElta

Gruppenhomomorphismus

Hallo
also meine Aufgabe lautet:
Es sei (G,*) eine Gruppe ung g element G.Zeige:
a.)Die Abbildung Alpha : Z(also ganze zahlen hier) -->G:n--->g^n
ist gruppenhomomorphismus mit Bild Im(Alpha) =<g>
b.)Gibt es ganze Zahlen k ungleich l mit g^k=g^l, so existiert die Zahl
n=min{m element N(natürliche zahlen) : m>0,g^m=e}
und es gelten
1.){m element Z: g^m=e} =n*Z
2.)<g>={e,g,g^2,...,g^(n-1)}
3.)l<g>l=n
ok kann mir hier vllt irgendwer helfen bin am verzeweifeln versteh die blöden gruppen einfach net
danke im voraus

09.11.2008, 13:54

system-agent

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Weise bei (a) die Bedingungen für einen Gruppenhom nach.

09.11.2008, 13:58

DElta

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und wie mach ich das was bedeuten die ganzen zeichen ich find die ganze aufgabe irgendwie furchtbar verwirrend
ahc ja als tip hat ich bei der b noch irgendwie div zu benutzen

09.11.2008, 14:09

system-agent

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Du hast zwei Dinge zu zeigen für (a):
(i) $\begin{eqnarray*} \alpha(0)=e \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$ das neutrale Element
(ii) $\begin{eqnarray*} \alpha(n+m)=\alpha(n)\cdot\alpha(m) \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 14:14

DElta

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a(n*m) = g^(nm) und a(n)*a(m)= g^n g^m=g^(n+m) dann ist das aber doch gar net gleich und kein gruppenhomomorphismus

09.11.2008, 14:23

system-agent

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Zitat:

Original von DElta
a(n*m) = g^(nm)

Die Verknüpfung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist aber die Addition !

Versuch bitte mit LaTeX zu schreiben smile

09.11.2008, 14:56

DElta

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ich hab keine ahnung wie ich damit schreibe
ok alles klar dann ist ja der a teil klar aber der b.)teil ist ja noch unverständlicher

09.11.2008, 15:03

DElta

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mir wurde gesagt das ich erst nachweisen muss das Im(Alpha) und <g> untergruppen sind von G stimmt das

09.11.2008, 15:07

system-agent

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Es wäre hilfreich Big Laugh

Zu (b):
Untersuche $\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\alpha) \end{eqnarray*}$ und nutze, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ jede Untergruppe von der Form $\begin{eqnarray*} n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Danach musst du noch zeigen, dass jede Potenz von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ schon in $\begin{eqnarray*} \{1,g,...,g^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Nutze Division durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit Rest.

09.11.2008, 15:10

DElta

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was ist denn Ker(Alpha)?
und worauf nutze ich den div
und was bringt das der b teil ist echt ein totales rätsel

09.11.2008, 15:34

system-agent

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Ich würde vorschlagen du schaust dir erstmal alle Grundlagen über Gruppen nochmals an.

In deinem Fall ist
$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\alpha):=\{n\in\mathbb Z\quad:\quad \alpha(n)=e\in G\} \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 18:18

DElta

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ist nicht so als hätt ich mich mit dem ganzen kram nicht auseinander gesetzt aber ich bin echt nicht die einzigste die die aufgabe null versteht meine kommilitonen haben auch keine ahnung und es wird leider auch nicht klarer

09.11.2008, 19:05

system-agent

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Also dann mal so:
Du hast also schon nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha:\mathbb Z\to G \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhom ist, der durch $\begin{eqnarray*} n\mapsto g^n \end{eqnarray*}$ definiert ist, wobei $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ein festes Element ist.
Nach Definition von $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ sieht man sofort, dass $\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\alpha)=<g> \end{eqnarray*}$ ist [bzw wie habt ihr es definiert?].
Damit ist (a) erledigt.

Man kann also den Kern des Homomorphismus betrachten, der Kern besteht genau aus diesen Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , deren Bild unter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$ ist.
Ich nehme mal an, dass in der Aufgabe etwas davon steht, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ endliche Ordnung haben soll.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\alpha)=\alpha^{-1}(\{e\})\subset\mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe und nach Satz muss es also ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ geben so, dass $\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\alpha)=n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Das zeigt schon (1).

Zeige noch, dass jedes Element von $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ in der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,g,g^2,...,g^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ liegt.
Nimm also ein Element $\begin{eqnarray*} h\in <g> \end{eqnarray*}$ .
Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h=g^s \end{eqnarray*}$ .
Nun betrachte die Division mit Rest von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} s=nq+r \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und einen Rest $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq n-1 \end{eqnarray*}$ , das heisst es ist $\begin{eqnarray*} g^s=g^{nq+r} \end{eqnarray*}$ .
Nun benutze die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Wo liegt dann also $\begin{eqnarray*} g^r \end{eqnarray*}$ ?
Folgere daraus die Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} <g>=\{1,g,g^2,...,g^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ .

16.11.2008, 14:50

DElta

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vielen dank für die hilfe nochmal hatte es dann einigermaßen kapiert gehabt

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