Integrieren

23.08.2006, 20:31	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren Wie kann man: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a} \prod\limits_{i=0}^{N}\frac{x-\frac{b-a}{2}\tau_i+\frac{b+a}{2}}{ \frac{b-a}{2}\tau_j+\frac{b+a}{2}- \frac{b-a}{2}\tau_i+\frac{b+a}{2}} \end{eqnarray}$ ausrechnen wenn man das Ergebnis für $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \prod\limits_{i=0}^{N}\frac{x- \tau_i} {\tau_j-\tau_i} \end{eqnarray}$ bereits kennt? Falls das schon falsch ist tipp ich die aufgabe mal von anfang an ein: man hat die gaußquadraturformel mit der g integriert werden soll: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n\gamma_i g(\tau_i) \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \gamma_i=\int_{-1}^{1}\prod\limits_{j=0 i\neq j}^{n}\frac{x-\tau_i}{\tau_j-\tau_i} \end{eqnarray}$ tau_i sind die Stützstellen. Das Problem ist die Formel geht nur für das Intervall [-1,1] Nun hat man ein Intervall [a,b] und bildet jetzt [-1,1] auf [a,b] ab mit $\begin{eqnarray} x\rightarrow (\frac{b-a}{2}~x + \frac{b+a}{2}) \end{eqnarray}$ Nun soll man die allgemeine Formel ausrechen. Die neuen Werte sind dann also wenn man f integrieren will: $\begin{eqnarray} f(\frac{b-a}{2}~\tau_i + \frac{b+a}{2}) \end{eqnarray*}$ Nun hängt es an den Gewichten (also den Gammas)
23.08.2006, 20:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass du ein paar Klammern vergessen hast, d.h. eigentlich $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a} \prod\limits_{i=0}^{N}\frac{x-\left( \frac{b-a}{2}\tau_i+\frac{b+a}{2}\right)}{ \left( \frac{b-a}{2}\tau_j+\frac{b+a}{2} \right)- \left( \frac{b-a}{2}\tau_i+\frac{b+a}{2}\right)} \end{eqnarray}$ meinst? In dem Fall schreit ja ein Transformation der Integralgrenzen $\begin{eqnarray} [a,b]\to [-1,1] \end{eqnarray}$ geradezu nach der linearen Substitution $\begin{eqnarray} x= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t \end{eqnarray}$ , welche diese Grenzen ineinander überführt und auch ansonsten sehr zur Struktur deines Integranden passt.
23.08.2006, 20:53	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Huups ja die sind bei dem latex gewurschtel verloren gegangen, sorry. Ich kann leider nur so integrieren, dass ich einen längeren Ausdruck durch "u" ersetze. Hier gehts dann ja andersrum. Was ich mit den Grenzen machen muss weiß ich auch nicht so richtig (selbst bei langer ausdruck durch u ersetzen)
23.08.2006, 22:57	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich setz mal ein was ich jetzt hab $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} \prod\limits_{i=0}^{N}\frac{x- \tau_i} {\tau_j-\tau_i} \end{eqnarray}$ Bei den Grenzen muss man die Zahl nehmen, die eingesetzt in den Term (a+b)/2t+(b-a)/2 die alte Grenze ergibt oder? zumindest kommt so 1 und -1 raus, oder ist das Zufall? Das was ich jetzt hab soll schon die Lösung sein, hängts das damit zusammen dass die Ableitung von (a+b)/2t+(b-a)/2 1 ist? Ich fass mal kurz zusammen: Man ersetzt die Variable durch einen Ausdruck, die neuen Grenzen sind dann die Werte die eingesetzt in den Ausdruck die alten Grenzen ergeben. Dann multipliziert/dividiert man die große Formel mit/durch die Ableitung des Ausdrucks. hmmm ich hab das jetzt für $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}x~dx \end{eqnarray}$ getestet. Ich substituiere sin(t)=x und krieg dann: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}x~dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)dt \end{eqnarray}$ was offensichtlich nicht stimmt. edit: ich bin ein depp nicht mal richtig ausklammern klappt. Also oben kürzen sich die (b-a)/2 raus und dann kommt einmal der Faktor von der Abletung hinzu. Wie geht das formal? macht man einfach statt dt/dx=g'(x) das hier: dx/dt=g'(t) ein? Im unteren Beispiel muss man dann rechnen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}x~dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)\cos(t)dt \end{eqnarray}$ und kriegt dann mit partieller Integration wirklich 1/2 raus.

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